Ligne droite et courbe de peano

[Doraki]

J'ai pas compris.

Si x = 0.0....0 1,
que vaut 10*x ? x/2 ? quelle suite de rationnels tend vers x ?

[ffpower]

Jete un coup d'oeil à ce topic à l'occasion aussi :
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=97386&highlight=0.999

[Galax]

Tu penses quoi de la fonction f : [0,1] -> [0,1]² où
on écrit x en base 2 ou 3 ou ce que tu veux, x = 0.a1a2a3a4a5....
et f(x) = le couple (0.a1a3a5a7... , 0.a2a4a6a8...)

Elle est certes pas continue mais elle est surjective, oui ?

Oui, c'est d'ailleurs assez amusant de voir pourquoi ca n'est pas une bijection

[nodjim]

1/10^infini, je sais l'écrire.
10/10^infini, je suis pas sûr que ce soit 10 fois plus.

[Ben314]

j'iaimerais formaliser le "paradoxe" 2=racine(2) que tu cites.
- j'imagine qu'on prend une suite de fonctions du genre fn(x) = plancher(nx) / n
- les fn tendent vers la fonction identité (qqch comme : pour tout epsilon, il existe n tq pour tout x abs(fn(x)-x)<epsilon)
- mais après ? tu ne peux pas calculer la longueur de la courbe de fn qui est discontinue en tout k/n ?

On considère les courbes telle celle en rouge sur la figure ci dessus où n=8 ( ce ne sont pas des graphes de fonction y=?(x) ).
Elles tendent (uniformément) vers la diagonale du carré alors que toutes ces courbes sont de longueur égale à 2.
Ca montre simplement que la longueur de la limite n'est pas égale à la limite des longueurs.

De la même façon, pour la courbe de Peano, les images des fonctions ont une aire nulle alors que l'image de la fonction a une aire égale à 1 et ça prouve simplement que la notion "d'aire de l'image" ne "passe pas à la limite".

[ffpower]

1/10^infini, je sais l'écrire.
10/10^infini, je suis pas sûr que ce soit 10 fois plus.

Bah qu'est ce que tu veux que ca fasse d'autre? de toute facon, les 2 valent 0, et 0=10*0

[Ben314]

Tu penses quoi de la fonction f : [0,1] -> [0,1]² où
on écrit x en base 2 ou 3 ou ce que tu veux, x = 0.a1a2a3a4a5....
et f(x) = le couple (0.a1a3a5a7... , 0.a2a4a6a8...)
Elle est certes pas continue mais elle est surjective, oui ?

Et il est interessant de constater qu'en complexifiant trés légèrement le procédé mais en gardant le principe, on peut rendre la fonction continue et cela donne une définition parfaitement calculatoire d'une fonction "à la peano".

[ffpower]

C'est d'ailleurs cette variante que j'ai proposée un peu plus haut :)

[Galax]

On a donc une surjection de [0,1] dans [0,1]²

Une surjection de [0,1]² dans [0,1] est triviale à construire

On devrait donc pouvoir construire une bijection sans trop de probleme (?).

Mais cette fonction ne pourra pas etre continue sinon on aurait un probleme topologique, car existerait alors un homéomorphisme entre une ligne et une surface, c'est bien ca ?

[Nightmare]

Salut,

Ta bijection ne pourrait pas être continue car [0,1]² privé d'un point est connexe alors que [0;1] privé d'un point non !

[Ben314]

C'est d'ailleurs cette variante que j'ai proposée un peu plus haut

Effectivement, j'avais pas fait le lien du fait que... c'est pas à cette "variante" là que je pensait mais à un truc légèrement plus compliqué à définir mais qui donne au final une parfaite courbe autoreproductible.

[Doraki]

Mais cette fonction ne pourra pas etre continue sinon on aurait un probleme topologique, car existerait alors un homéomorphisme entre une ligne et une surface, c'est bien ca ?

Une bijection continue n'est pas forcément un homéomorphisme.

[Galax]

Une bijection continue n'est pas forcément un homéomorphisme.

Oui, d'accord ya des histoires de réciproque.

[nodjim]

Bon, au final, tout le monde comprend la même chose, après c'est l'interprétation qu'on en fait.
Je dis que la courbe de Peano ne peut remplir le plan, tout comme l'escalier cité par Ben ne peut avoir une longueur racine de 2, car l'une stagne à une surface nulle, et l'autre maintient sa longueur à 2. L'objectif assigné (atteindre l'infini) n'est pas accessible. Heureusement, d'ailleurs, sinon, le principe de continuité serait serait mis à mal.
Maintenant, je comprends très bien qu'on puisse supposer ce qui se passe quand on atteint cet infini, et donner un résultat. Mais je ne prends ça qu'avec beaucoup de si.
Question de goût.

[Doraki]

l'escalier cité par Ben

?????
lequel ?


C'est quoi le "principe de continuité" ?