Espace de hilbert.

[Abu Omar.]

salt.
c'est ma première participation dans ce forum de math
c'est quoi l'espace de Hilbert , ou bien quelles sont ces particularité ?
j'ai lu qu'il est generalisation de l'espade d'euclide ,dans quel coté cette generalisation?
je ne comprend pas l'utilité de ces mots " complet" " normé" "possede un produit scalaire" , ce sont des particularité ? car on l'utilise dans l'electromagnetisme , et j'aimerai savoir pourquoi

meci beacoup.

[Ben314]

Salut,
Un espace de Hilbert réel, c'est effectivement la généralisation d'un espace vectoriel Euclidien.
Dans un espace vectoriel Euclidien, il y a un produit scalaire et une norme "associée" au produit scalaire, c'est à dire définie par ||u||²= (produit scalaire), mais, par définition, un espace Euclidien est de dimension finie : normalement, on voit toutes ce notions au Lycée (sans trop rentrer dans les détails axiomatiques...)
Un espace de Hilbert réel est lui aussi muni d'un produit scalaire et d'une norme associée avec les mêmes propriété que dans un espace Euclidien, mais il peut être de dimension infinie ce qui fait qu'un certain nombre de propriétés des espaces Euclidiens risquent de ne plus être vérifiées. Pour qu'on ait quand même un grand nombre de propriétés communes, on impose à un espace de Hilbert d'être "complet" (sinon on parle d'espace préhilbertien), c'est à dire que l'on demande à ce que toutes les suites de Cauchy soient convergentes. C'est automatiquement vrai dans un espace Euclidien (i.e. de dimension finie) mais ne l'est plus forcément en dimension infinie.

[math_nour]

salut,
Ben32 a bien expliqué l'origine des espaces de Hilbert, mais on peut tout simplement dire que c'est un espace vectoriel complet muni d'un produit scalaire et la particularité des ses espaces est la notion d'orthogonalité ( deux vecteurs d'un espace de Hilbert sont orthogonaux si et seulement si, leur produit scalaire est nul)



Complet : cela veut dire que la limite de toute suite de Cauchy de cet espace reste dans cet espace et c'est ça l utilité de la complétion

le produit scalaire et la norme sont des outils de mesure dans un Hilbert ici on doit savoir qu'un produit scalaire induit toujours une norme et on a = ||y-x||, le contraire n est pas toujours vrai

Comme a mentionner Ben 32 un Hilbert peut être de dimension infini et malheureusment on peut pas utiliser les propriétés des espaces euclidienne qui sont de dimension finie alors on a cherché des propriétés analogues pour pouvoir utiliser et mesurer ses espaces

[Abu Omar.]

merci pour vos réponses.
ce que je voulais savoir , est qu'il y en a d'autre espace qui sont complet , et qui possède des norme et des produits scalaires , ce n'est pas une particularité d'un espace de Hilbert,non???
et de plus
l'intérêt de cet espace apparait dans le cas ou le dimension est infinie , dans le cas contraire , non , puisque on l'espace d'Euclide,??
merci beaucoup.

[kazeriahm]

Bonjour

un espace de Hilbert est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire, complet pour la norme induite par ce produit scalaire

un espace Euclidien est un espace de Hilbert de dimension finie (en fait on parle rarement d'espace euclidien puisque tout espace vectoriel de dimension finie sur R par exemple peut etre muni d'un produit scalaire et est complet)

[math_nour]

oui il y en a beaucoup d'autre espace complet par exemple |R, |R`^n , |C , |C^n .. qui sont de dimension finie et il y a les espace de Banach qui sont de dimension infinie et pour montrer qu'un espace est complet il suffit de prendre une suite de Cauchy de cet espace et montrer qu'elle est convergente dans cet espace

Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet

puisque le produit scalaire induit une norme comme - je l ai deja mentionné- alors un espace de Hilbert est un Banach

La particularité de l espace de Hilbert comme j ai déjà dit est la notion d'orthogonalité qu'on a grâce au produit scalaire ( deux vecteurs d'un espace de Hilbert sont orthogonaux si et seulement si, leurs produit scalaire est nul)

[Abu Omar.]

merci beaucoup.
produit scalaire nul==vecteurs orthogonaux , cette particularité n'est seulement pour l'espace de Hilbert , puisque il y a le "cosinus" dans le produit ,alors pourquoi spécificité de Hilbert??

[Abu Omar.]

et alors...merci beaucoup.