Aire d'un triangle équilatéral, suites

[Shania]

Bonjour tout le monde, je m'adresse à vous car un devoir maison me pose quelques difficultés. L'exercice se base sur le principe des flocons de von koch. Voici l'énonce :

correspond au nolbre de côtés à l'étape n et correspond à la longueur d'un côté à l'étape n

Préliminaire : Démontrer que l'aire d'un triangle équilatéral de côté a est

1. Soit l'aire de la figure à l'étape n. Calculer et .

2. Justifier que pour tout n0 on ait .

3. Démontrer que .

4. En déduire que .

5. En déduire la limite de l'aire de la figure lorsque le nombre d'étape tend vers


Voici ce que j'ai fais ( pas grand chose encore car je ne comprend pas vraiment comment faire ) :


Préliminaire :




1.





Ensuite pour les autres questions je ne sais pas comment faire. J'espere que vous pourrez m'aider !!

Bonne après-midi.

Shania

[Ben314]

Salut,
Vu les formules, je pense qu'il s'agit du flocon de Von-Koch, mais ça serait un peu mieux si tu nous fournissait un dessin ou, au minimum, une explication écrite permettant de voir qui sont Ln et Cn...

Je pense que Cn est l'aire des petits triangles qu'on ajoute et que Ln est le nombre de ces derniers ?

[Shania]

Alors oui, correspond au nombre de côtés à l'étape n et correspond à la longueur d'un côté à l'étape n

[Ben314]

Bon, pour le préliminaire, à mon avis, il faudrait plus détailler :
comment calcule tu la hauteur d'un triangle équilatéral en fonction de son coté ?
Ensuite, effectivement, dans tout triangle, on a bien , mais la hauteur d'un triangle équilatéral de coté n'est pas .

Ensuite, pour et , on te demande seulement de regarder tes figures.
Je pense que est un triangle équilatéral de coté 1 (j'ai toujours pas la figure...) donc son aire est ...
Ensuite, , c'est le triangle équilatéral auquel on a rajouté des petits triangles sur les cotés. Quelle taille ont ces petits triangles ? Donc quelle est leur aire ? Combien en as-t-on rajouté ? Conclusion.

Ensuite, ce raisonement que tu vient de faire pour passer de à , on te demande de vérifier que c'est le même pour passer de à ...

P.S. : Ceux qui ne connaissent pas et qui trouvent que ça manque cruellement de dessin peuvent regarder par exemple là :http://fr.wikipedia.org/wiki/Flocon_de_Koch

[Shania]

Pour la question préliminaire, j'ai trouvé que la hauteur valait (grâce au théorème de Pythagore) ce qui fait bien Car .

1. A l'étape 0 il y a 3 côtés (je ne sais pas s'il faut garder a ou choisir 1 pour la mesure du côté...ici je choisis de garder a)
Donc ou pour un côté de 1.

A l'étape 1 : il y a 3.4=12 côtés
Donc ?! (j'avoue que je ne suis pas sure)

[Ben314]

Bon, si tu applique Pythagore dans un "demi" triangle équilatéral de coté et de hauteur , tu as donc , c'est à dire
La surface du triangle équilatéral est alors

Donc, si ton triangle de départ est de coté , sa surface est effectivement .
Par contre, ton est franchement n'importe quoi :
est une longueur, par exemple en cm. Comme , est en cm² (normal, c'est une aire) et, si on avait comme tu le dit , l'unité pour serait des centimètres à la puissance 24 !!!!!!

Je te l'ai déjà dit :

Ensuite, , c'est le triangle équilatéral auquel on a rajouté des petits triangles équilatéraux sur les cotés. Quelle taille ont ces petits triangles ? Donc quelle est leur aire ? Combien en as-t-on rajouté ? Conclusion.