TVI en deux dimensions.

[Doraki]

Soit D = {(x,y) / x²+y² <= 1} et S = {(x,y) / x²+y² = 1} le disque unité et la sphère unité dans R².
Soit f : D -> D, continue, telle que pour tout x de S, f(x) = x.

Montrer que f est surjective.

[ffpower]

Je dirais que si f évite une valeur, on doit probablement pouvoir supposer que c'est 0 en composant avec un homéo bien choisi, et on peut alors poser g(x)=f(x)/|f(x)| qui effectue une retracte du disque sur le cercle et on obtient une contradiction par brouwer ( appliqué à -g )

[Nightmare]

J'avais à peu près la même chose que toi ffpower, mais j'étais persuadé que Doraki attendait une preuve sans Brouwer qui me semble quand même assez "gros" pour la question...

[ffpower]

ben en même temps ce truc implique qu'il n'y a pas de rétracte d'un disque sur le cercle..

[Doraki]

Ouais j'avais pas fait gaffe que c'était assez équivalent à ça.
(un jour faudrait que je regarde proprement cette démo de brouwer)

En fait au début je voulais poser la question dans le style échiquier (où une fonction continue c'est une fonction 1-lipschitzienne pour la norme 1) mais j'me suis aperçu que je prouvais ce résultat avec la même preuve.

[ffpower]

Remarque ici, on peut s'en sortir presqu a la main en disant qu'une retraction du disque sur le cercle entraine que Id est homotope à un point sur le cercle, et vérifier que ce n'est pas possible en utilisant des indices de lacets. Et du coup la version "échiquier" doit pouvoir se résoudre avec des arguments élémentaires de parité comme l'autre exo..

[Nightmare]

Ouai bon, je vais aller réviser ma topo, parce que ton dernier argument ffpower ne me parait pas trivial.

[ffpower]

(un jour faudrait que je regarde proprement cette démo de brouwer)

surtout que la démo moderne usuelle te ferait perdre un quart d'heure à tout casser tellement elle est courte. On se ramene à montrer qu'il n'y a pas de rétracte f C infinie de la boule B sur la sphere S , pour cela on pose , on vérifie que pour t petit est bijective de B dans B par des arguments classiques d'analyse ( inversion locale, accroissements finis, connexité.. ), on en déduit par changement de variable que la quantité vaut mes(B) pour t petit, et vu que cette quantité est polynomiale elle vaut aussi mes(B) en t=1 ce qui n'est pas possible du fait que f envoie la boule dans la sphere ( sa différentielle est non inversible en tout point...)

[ffpower]

Ouai bon, je vais aller réviser ma topo, parce que ton dernier argument ffpower ne me parait pas trivial.

Essentiellement, c'est : Si g est une fonction continue du cercle dans le cercle, alors t->g(e^{it}) est continue de R dans le cercle et peut donc écrire g(e^{it})=e^{ih(t)} pour une fonction h continue de R dans R unique à 2kpi près ( c'est le théo du relevement : on construit h localement du fait que exp est un homéo local, puis on recolle les morceaux comme il faut ). La periodicité de g(e^{it}) entraine que h(t+2pi)-h(t) est constant égal à un certain 2kpi, et cet entier k est alors appellé indice de g ( il indique combien de fois g(z) fait le tour du cercle quand z fait une fois le tour du cercle ). On vérifie aisément que si 2 fonctions sont proches, elles ont même indices, et que l'indice est donc invariant par homotpie. Or l'indice de Id vaut 1, et celui d'une constante vaut 0..