Système de polynômes

[Liv]

Bonjour

Je suis doctorant en traitement du signal et une question d'ordre algébrique me fait aboutir à un curieux système d'équations polynomiales. Je me demande s'il n'y a pas des théorèmes qui peuvent me venir en aide.

Je cherche les , et le système se compose de n équations de forme générique
où et sont des polynômes des , autrement dit la i-ème équation est linéaire en , et les autres n'apparaissent qu'au premier ordre (ou des multiples de type ).

Le degré maximal de chaque coefficient est (n-2) et aucun carré n'apparaît (le degré maximal est atteint avec les termes croisés). Chaque ligne est donc de degré n-1, avec aucun terme en

J'aimerais avant tout savoir si on peut prouver qu'il y en a (au moins) une et idéalement une seule. On suppose qu'on n'est pas dans un cas singulier (typiquement pour une raison liée à la structure du système).

Quelles que soient les autres valeurs, la ligne i admet une et une seule solution en , mais je crois faire une grosse bêtise en estimant que ça suffit à prouver l'existence d'une solution unique au système.

Je me suis renseigné sur les systèmes de polynômes et j'ai lu deux-trois choses sur les bases de Gröbner et l'algorithme de Buchberger. Le hic est qu'ici on ne dispose pas des coefficients explicites des polynômes, seule la structure est connue et disponible à travers une fonction numérique.

Numériquement, je crois déceler qu'il n'y a qu'une solution, trouvable très facilement par optimisation en partant de 0.
Je dormirais quand même mieux en sachant pourquoi :zen:
Merci de la lecture !

[Doraki]

les polynômes ai et bi ils peuvent être de quelle forme ?
est-ce que par exemple a2 = 1-x1² ça peut arriver ?

En prenant le système le plus simple possible,
x+y² = 0
y+x² = 0,
on a deux solutions dans R*R (et 4 dans C*C)

[Liv]

Merci pour la réponse rapide, je suis un peu gêné parce que j'ai un peu modifié le texte suite à une petite erreur de calcul !

En fait le terme linéaire était lui aussi un carré, ce qui fait qu'on a des carrés partout.
J'ai donc reposé le problème en termes linéaires, en imposant que les inconnues sont positives.

[abcd22]

Bonjour,
En fait la i-ème équation est aussi linéaire en avec , c'est ça?

[Doraki]

Donc toutes les équations sont des polynômes en x1...xn, de degré au plus 1 en x1,...,xn ?
Il n'y a plus de raison de dire que xi a un rôle particulier dans l'équation i (en tout cas, pas du à la forme de l'équation) ?

En tout cas on peut toujours "simuler" une équation polynomiale quelconque même avec ces contraintes.
Par exemple, je sais que x²-3x+2 a deux solutions positives (1 et 2)

Donc le système

x1*x2-3*x1+2 = 0
x1-x2 = 0

aussi.

[Liv]

Effectivement xi n'a plus de rôle particulier, toutes les équations sont linéaires en chaque xi et de degré au plus n-1.

Ton exemple me fait remarquer (c'est encore une fois lié à la structure derrière) que chaque ligne est au moins strictement affine en xi (au sens où les termes constants de ai et bi ne sont pas nuls), ce qui casse la symétrie certes astucieuse.

edit : ouh la, parfois simplement poser le problème à d'autres personnes aide à le clarifier ! une autre info donc, les lignes sont de degré n, le terme produit de toutes les inconnues est non nul.

On a donc un système de n polynômes de degré n, à n variables et de degré au plus 1 pour chaque variable.