Démonstration par récurrence Tle S

[le fouineur]

Bonjour à tous,

Je suis actuellement bloqué sur le problème suivant: (partie d'un énoncé dont j'ai résolu les trois premières questions)

4o)a)Etudier le signe de la fonction f(x)=tan(x)-x sur l'intervalle [0;Pi/2[
-en déduire le signe de f'(x) sur ]0;Pi/2[
b)Démontrer que pour tout entier naturel non nul k,il existe un unique réel Xk de l'intervalle
]-Pi/2+kPi;Pi/2[ tel que tan(x)=Xk
-justifier que Xk>kPi
c)En déduire le signe de f'(x) sur l'intervalle ]0;X1[,puis sur chacun des intervalles]Xk;Xk+1[ pour tout entier k

Ce que j'ai fait:4o) tan(x)-x=0 est une équation trancendante et ne peut donc être résolue algébriquement,j'ai donc tracé la courbe et on constate que tan(x)-x=>0 sur [0;Pi/2[

tan(x)-x étant positive et croissante sur ]0;Pi/2[,f'(x)=tan(x)^2 est positive sur ]0;Pi/2[

Arrivé là (je ne sais pas si j'ai suivi la bonne méthode),je n'ai aucune idée pour répondre à b) et c)....

Merci d'éclairer ma lanterne Cordialement le fouineur

[Ben314]

Salut,
"L'équation tan(x)-x=0 ne peut pas être résolue purement algébriquement" : est (à peu prés) vrai, mais ça ne veut absolument pas dire qu'on ne peut la résoudre que graphiquement !!!!
As-tu fait le tableau de variations de x->tan(x)-x sur [0,pi/2[, pour voir ?

Par contre, effectivement, l'ordre des questions me parait abérrant : pour moi, on commence par étudier le signe de f' (ce qui est trés façile), on en déduit les variations de f puis on en déduit le signe de f...
Je ne vois pas par quel "miracle" on pourrait déduire les variations de f (c'est à dire le signe de f') de la seule connaissance du signe de f !!!


Edit : A force de cogiter, je pense que tu as DEUX fonctions dans cet exo. et que, malencontreusement, tu les as toute les deux appelés f....

[le fouineur]

Merci BEN de t'être penché sur mon problème,

J'ai vérifié l'exactitude des termes de l'énoncé,et il apparait que les questions sont bien posées dans cet ordre là;j'ai étudié une autre fonction f(x) = variant de 0 à l'infini aux questions 1o) ,2o) et 3o) du mème exercice mais ça n'a rien à voir aux questions posées au 4o) qui font l'objet de ma requète....

je recommence pour la 4o):

tan(x) varie de 0 à +l'infini sur [0;Pi/2[
x varie de 0 à Pi/2 sur [0;Pi/2[
pour tout x appartenant à [0;Pi/2[ ,tan(x)>x donc f(x)=tan(x)-x>0

f'(x)= est >0 sur]0;Pi/2[ donc f(x) est positive et croissante sur cet intervalle.
de plus comme f(x) est strictement croissante sur [0;Pi/2[ ,f(0)=0 et f(Pi/2)--> + l'infini,f(x) ne coupe l'axe des abcisses qu'en 0

Peux-tu maintenant m'aider pour le b) et c) pour lesquels je rame complètement....

Merci d'avance pour ton aide Cordialement le fouineur

[Ben314]

Bon, ça confirme tout à fait ce que je pensait : tu as deux fonctions que tu appelle toutes les deux f et, forcément, tu y capte que dalle...

Je te réécrit correctement l'énoncé :

Dans les parties précédentes, on a définie la fonction F(x)=sin(x)/x (avec un grand F)

4o)a)Etudier le signe de la fonction f(x)=tan(x)-x (avec un petit f) sur l'intervalle [0;Pi/2[ (on commencera par calculer f' pour dresser le tableau de variation de f) (tout ça avec des petits f)
-en déduire le signe de F'(x) sur ]0;Pi/2[ (avec un grand F)

b)Démontrer que pour tout entier naturel non nul k,il existe un unique réel Xk de l'intervalle
]-Pi/2+kPi;Pi/2[ tel que tan(x)=Xk
-justifier que Xk>kPi
c)En déduire le signe de F'(x) (avec un grand F) sur l'intervalle ]0;X1[,puis sur chacun des intervalles]Xk;Xk+1[ pour tout entier k

[le fouineur]

Merci BEN pour ta réponse rapide,

Je te confirme que j'ai recopié exactement l'énoncé du problème,sans changer une virgule, et il n'apparait nulle part de fonction F dans l'énoncé.
Pour t'en convaicre je te donne les coordonnées du livre et de l'exercice,tu pourras vérifier par toi même......

MATHEMATIQUES Terminale S Hachette par J.P. BELTRAMONE, V. BRUN, C. FELLONEAU etc...
Edition 06/2006 exercice 94 page 95

Merci d'avance pour ton aide Cordialement le fouineur

[Ben314]

Je ne remet pas en cause ta bonne foi.
Ca veut juste dire qu'il y a une "coquille" dans l'exo du bouquin (je ne pense pas qu'il existe un seul bouquin garanti 100% sans la moindre erreur...).
Prend l'énoncé tel que je te l'ait "reformulé" : tu verra que, d'un seul coup, c'est beaucoup plus logique comme questions :
On dérive f, on fait son tableau de variation, on en déduit le signe de f ce qui donne le signe de F'.