Suite exercice trigo

[denis273]

bonjour j'aurais besoin d'aide pour un exercice sur la trigo , il faut que je montre que pour tout x appartenant à l'intervalle (0,;)/2 ) exclus , on a 2x < sin ( 2x ) + Tan x .
d'après le modèle de mon cours , je commence par définir l'ensemble de définition , ensuite l'étude de la périodicité et de la parité pour réduire mon ensemble d'étude puis le sens de variation de la fonction et enfin la représentation graphique .
il me semble que dans notre cas l'ensemble de définition est déja donnée (0,;)/2) , pas besoin de faire la périodicité ni la parité car on ne peut pas réduire plus . il reste le sens de variation mais la c'est compliqué . on peut prendre comme fonction f(x)= sin( 2x ) + tan x - 2x
j'ai f'(x)=2cos(2x) +1/cos^2x - 2
sachant que cos 2a = 2 cos^2 a - 1
on a f'(x)=2( 2cos^2 x -1 ) + 1/cos^2 x -2 = (2 cos^2x-1)^2/ cos^2x
par contre pour la suite je suis bloqué, qqun pourrait m'aider svp ?

[arnaud32]

tu as deja fait le plus dure!
quel est le signe de (2 cos^2x-1)^2 ?
quel est le signe de cos^2x ?

qu'en deduis tu pour la monotonie de ta fonction?

[denis273]

si x appartient a l'ensemble de définition (o, pi/2 ) on a le dénominateur qui est négatif d'après ma calculette car cos^2x est décroissant sur o pi/2 donc le signe de la dérivé est celui du numérateur non?

[arnaud32]

je crois que tu as deux carres ...

[denis273]

ce qui veut dire que l'ensemble de ma dérivée sera positive ?

[arnaud32]

on dirait oui :-)

[denis273]

est ce que c'est toujours le cas lorsqu'on a des fonctions trigo élevé au carré ce sera toujours positif ? pour justifier que f'(x) est positif, je dis un carré est toujours positif donc le numérateur et le dénominateur sont positif ? donc le quotient est positif ? c'est valable uniquement pour x appartenant a o , pi/2 ?

[arnaud32]

dans R un carre est toujours positif!!!
le produit de deux nombres positifs est positif
le quotient de deux nombes positifs est positif ....

[denis273]

ok merci beaucoup donc si f'(x) > 0 sur (O, pi/ 2 ) cela veut dire que f(x) est croissante sur cette intervalle et il ne me reste plus qu'à prendre des valeurs pour tracer mon graphique du genre pi/6 pi/4 pi/3 pi/2 ?

[arnaud32]

surtout tu as sur ]0,pi/2] f(x)>f(0)

[denis273]

donc f(0)=0 et f est strictement croissante sur pi/2 donc je n'ai plus qu'à prendre des valeurs. merci beaucoup de votre aide . bonne soirée