Cardinalité

[Doraki]

On prend E = l'ensemble des fonctions de R dans R
(fonctions quelconques, donc tous les trucs horribles que vous pouvez imaginer)

On considère la relation d'équivalence ~ sur E définie par :
f ~ g <=> il existe ;)>0 tel que sur l'intervalle [-;),+;)], f = g.

On regarde l'ensemble des classes d'équivalence E/~, et on s'interroge sur sa cardinalité.
E/~ = { classes d'équivalences de f, pour f dans E} = {{g de E tel que f~g} pour f dans E}

Est-ce qu'il existe une bijection entre R et E/~ ?
Est-ce qu'il existe une bijection entre E et E/~ ?
Ou aucun des deux ?

[ffpower]

Naivement, je dirais que c'est en bij avec E, la relation n'ayant pas l'air de regrouper suffisamment de fonctions ensemble pour diminuer le cardinal.

[Ben314]

Je pense comme ffpower :
Partant d'une fonction f de E, on lui associe
a) f1(x)=f(tan(x)) définie sur ]-pi/2,pi/2[
b) f2(x) pi-périodique définie sur ]-pi/2,pi/2[ par f2(x)=f1(x) et, par exemple f(pi)=0.
c) f3(x)=f(1/x) pour x>0 et f3(x)=0 pour x<=0.

Sauf erreur, f3 ~ g3 ssi f=g donc f->f3 fournit une injection de E dans E/~

[ffpower]

Moins naivement : si f va de ]1/2,1^[->R, Soit Tf(x)=f(2^nx) si 1/2^{n+1}
edit : doublé par ben (qui plus est avec quasiment la même construction )
edit2 : par contre ben t'as écris 2 fois f au lieu de f2 :)

[Doraki]

@ffpower : "pas suffisamment de fonctions", pour moi ça fait assez parceque chaque classe d'équivalence a même cardinalité que E.

@ben : oui à typo près c'est une injection
f -> (g : x -> f(tan(1/x)))

La première fois qu'on m'a parlé de ces germes de fonctions, j'ai mis pas mal de temps à trouver quelle cardinalité ça avait.

[Ben314]

qui plus est avec quasiment la même construction

Je confirme que
1) J'ai été plus rapide de 49-44=5 minutes :zen:
2) C'est exactement le même principe...

Aprés, Doraki avait il une autre idée ?

[Doraki]

Nan c'est la même construction que celle que j'avais.

On pourrait ptetre essayer de voir si on peut faire changer le résultat en changeant de système de voisinages.

[Ben314]

edit : doublé par ben (qui plus est avec quasiment la même construction )
edit2 : par contre ben t'as écris 2 fois f au lieu de f2

Donc, effectivement, pour te "griller", il a fallu que :
1) Je me rende pas compte que b) est totalement con vu que a) donne déjà une fonction Pi-périodique
2) Que j'oublie le 2 dans f3(x)=f2(1/x) dans le c)

Comme quoi la précipitation...

En fait, à décharge, j'était parti à écrire un truc "non explicite" du style
a) "on rétrécit le domaine"
b) "on rend périodique"
c) "on prend l'inverse pour que la 'période' apparaisse une oo de fois dans tout ]0,epsilon["
et j'ai voulu ecrire un truc "explicite"...

[ffpower]

On pourrait ptetre essayer de voir si on peut faire changer le résultat en changeant de système de voisinages.

1)f~g ssi f=g sur un intervalle
2)f~g ssi f=g sur un ensemble indénombrable

Quid du quotient dans ces 2 cas?

[Doraki]

Ca ne va pas parceque ce ne sont plus des relations d'équivalence.

f = g sauf sur un compact se ramène facilement au cas précédent.

f = g sauf sur un ensemble dénombrable, j'ai pas regardé (mais là les classes sont très petites comparé à la relation initiale)

[ffpower]

Ca ne va pas parceque ce ne sont plus des relations d'équivalence.

Euh..en effet.. :marteau: :mur:

[Ben314]

Ca ne va pas parceque ce ne sont plus des relations d'équivalence.

f = g sauf sur un compact se ramène facilement au cas précédent.

f = g sauf sur un ensemble dénombrable, j'ai pas regardé (mais là les classes sont très petites comparé à la relation initiale)

Si tu part comme ça, en fait ce que tu cherche, c'est des filtres sur R.
Si tu as un filtre, tu peut définir :
f~g ssi {x:f(x)=g(x)} est dans le filtre.
et tu as une relation d'équivalence...

[ffpower]

Un candidat qui m'a l'air sympatique :
f~g si f=g p.p.