Limite d'une fonction

[Fed]

Bonjour,

Dans le cadre d'un exercice sur les limites de fonctions (dont j'ai la correction), je suis amené à prouver l'égalité suivante :


lim(x->0) ln(sin(x))/lnx = 1

La correction me dit :

Pour montrer cette égalité on étudie la fonction (1) : ln(sin(x))-ln(x) / ln(x), qui s'écrit (2) : ln(sin(x)/x) / ln(x) , sous cette forme la limite 0 est évidente et (3) : lim(x->0) ln(sin(x)) / lnx = 1

D'une part, qu'y a t-il d'évident à ce que la fonction (1) écrite sous la forme (2) montre une limite nulle?
D'autre part, pourquoi avoir choisi la fonction (1), et en quelle mesure trouver sa limite permet d'établir (3) et ainsi terminer l'exercice?

Merci pour vos éventuelles réponses.

[Sa Majesté]

D'une part, qu'y a t-il d'évident à ce que la fonction (1) écrite sous la forme (2) montre une limite nulle?

La limite en 0 de sin(x)/x est 1 donc la limite en 0 de ln(sin(x)/x) est 0
La limite de ln(x) en 0 est -oo
On a donc une forme 0/-oo, qui fait 0

D'autre part, pourquoi avoir choisi la fonction (1), et en quelle mesure trouver sa limite permet d'établir (3) et ainsi terminer l'exercice?

[ln(sin(x))-ln(x)] / ln(x) = ln(sin(x))/lnx - 1
donc ln(sin(x))/lnx = [ln(sin(x))-ln(x)] / ln(x) + 1
Puisque la limite en 0 de [ln(sin(x))-ln(x)] / ln(x) est 0 alors la limite en 0 de ln(sin(x))/lnx est 1

[Fed]

Merci pour ta réponse, Sa Majesté. Mes corrections sont malheureusement toutes aussi peu détaillées que celle-là, et j'aurai sûrement d'autres questions. Si j'ai compris la démarche pour cette fois, je ne l'aurais jamais trouvée par moi-même, et c'est le cas pour bien d'autres études de limites...

[Fed]

Sans plus attendre, voici une autre question.

Il s'agit, une fois déterminé le domaine de définition de la fonction f : x-> (1-cosx) / (1-cos(sinx)), de savoir si f est prolongeable par continuité aux points où elle n'est pas définie, à savoir k*pi, k entier relatif.

Pour moi, en français, il s'agit de prouver que la limite de l'image d'un point x tendant vers k*pi existe.

En math : on pose h=x-a, a=k*pi.

on doit calculer lim(h->0) (1-cosh) / (1-cos(sinh)).

Là s'arrête ma lucidité.

La correction distingue a=2k*pi et a=2k*pi+pi :

La fonction f est continue en tout point de son ensemble de définition comme composée de fonctions continues.

[COLOR=DarkRed]Soit a = 2kp , en posant h = x - a on est ramené à étudier la limite en 0 de :

(1-cosh) / (1-cos(sinh)) = (2sin²(h/2)) / (2sin²(sin(h/2)))

en posant u = sin(h/2), l'expression s'écrit sous la forme : u²/sin²(u) = [u/sin(u)]² , la

la limite est donc 1 et f est prolongeable par continuité en a en posant f(a)=1.

Soit a =2kp +p , en posant h = x - a on est ramené à étudier la limite en 0 de :

(1+cos(h)) / 1-cos(sin(h))
[/COLOR]

En rouge, ce que je ne comprends pas. Pourquoi différencier (2pi) de (2pi)+pi?
de plus, pourquoi la limite étudiée et son expression changent t-elles en considérant a = 2kpi+pi?

Merci

[Arnaud-29-31]

Salut,

On peut comme tu l'as dis, on peut poser, , ce qui donne , cos(x) et sin(x) vont donc s'exprimer en fonction de cos(h) et sin(h) mais il faut différencier k pair et k impair.
C'est sans doute pour ca que l'on distingue de

Tu es bien d'accord que ?

[Sa Majesté]

Re,

On différence et car f est périodique de période
Ce qui se passe en et peut être différent



alors que

[Fed]

Merci pour vos réponses promptes et claires qui m'ont bien aidé. Comme j'ai du pain sur la planche et aucun prof pour m'aider pour l'instant, nul doute que d'autres questions viendront rapidement.

[Fed]

Bonjour,

Cette fois il s'agit d'étudier la limite de f en 1: x|-> lnx / x²+x-2

Pas le droit d'utiliser la "règle de l'hospital" qui donnerait 1/(x(2x+1))=1/3...

La factorisation (x+2)(x-1) du dénominateur ne donne rien...

[Sylviel]

Si si la factorisation du dénominateur (parenthèses !) te donne le résultat. Si tu ne le vois pas pose u=x-1...