Etude de fontion

[bibilolo]

Soit f(x)=-ln(1-x) définie sur [0,1[
Bonjour une étude de fontion que je trouve compliquée...

1 Etudier les variations de phi(t)=(x-t)/(1-t) ( t appartient à [0,x]) et montrer que 0 inférieur à phi inférieur à x
J'ai réussi .

2 Montrer que phi/(1-t)=(x-1)/(1-t)^2 + 1/(1-t)

3 Montrer que f(x)= somme de 1 à n de x^(k)/k + Rn(x) avec Rn(x)= intégrale de 0 à x de ((phi(t))^n)/(1-t)
A mon avis on procède par récurrence?

4 En déduire de 2 que 0 inférieur à Rn(x) inférieur à -x^(n).ln(1-x)

Voila j'aimerai bien de l'aide s'il vous plait
Merci d'avance

[Sa Majesté]

3 Montrer que f(x)= somme de 1 à n de x^(k)/k + Rn(x) avec Rn(x)= intégrale de 0 à x de ((phi(t))^n)/(1-t)
A mon avis on procède par récurrence?

C'est la formule de Taylor-Maclaurin avec reste intégral

[bibilolo]

C'est la formule de Taylor-Maclaurin avec reste intégral

oula je voie pas trop comment faire la formule de taylor c'est quoi?
sinon la 2 j'ai réussi depuis mon dernier post mais la 3, j'ai vérifié avec mon prof, c'est bien par récurrence qu'il veut que l'on fasse la question...

[Sa Majesté]

Tu n'as pas vu la formule de Taylor ?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Taylor

[bibilolo]

Malheureusement non, j'ai vérifié ton lien et tout mon cours et sa n'apparaît nul part... donc je pense que je suis condamné à une récurrence...

[Sa Majesté]

Bon ben OK
Ça se fait bien aussi par récurrence
Il suffit d'intégrer par parties

[bibilolo]

Euh je voie pas tu poses quelle intégration par parties ?
Je suis désolé mais je suis totalement perdu sur cette question

[Sa Majesté]

Ben d'abord comme toute récurrence il faut commencer par l'initialisation (n=1)
Il faut prouver que



Pour ça il faut faire une IPP

[bibilolo]

ah ok d'accord donc je pose u(t)=x-t et v'(t)=1/(1-t)^2
d'ou u'(t)=-1 et v(t)=1/(1-t)
C'est cela?

[Sa Majesté]

C'est ça sauf que v(t) n'est pas égal à -1/(1-t)

[bibilolo]

oui je m'en suis rendu compte en faisant les calculs j'ai modifié le message précdent mais je n'avais pas vu ta réponse car mon ordi n'avait pas actualisé la page....
Ok merci j'essaie l'hérédité
Je trouve donc au rang n+1, on a somme de k à n+1 de (x^k)/k + intégrale de 0 à x de (phi(t))^(n+1)/(1-t) dt
c'est à dire somme de k=1 à n de (x^k)/k + (x^(n+1))/(n+1) + intégrale de 0 à x de ((phi(t))^n)/(1-t).phi(t) dt
Mais après je voie pas quelle astuce de calcul utiliser?

[Sa Majesté]

Tu supposes que



et tu cherches à montrer que



Pour ça il faut faire une IPP sur

pour trouver