[MPSI/MP/Master] Qui trouvera ?

[Euler07]

Salut !

Voici un nouveau défi... Celui qui trouve alors là chapeau (j'ai eu du mal mais j'ai trouvé) :mur:

Trouver

Je ne donne pas d'indice, il se peut qu'il y est des gens très fort ici :zen:

[Zweig]

Salut,

On dispose de la relation triviale suivante :

On en déduit et en utilisant on en déduit une formule pour .

On connaît et comme , en utilisant la formule d'addition de la tangente on s'en sort.

(Désolé, flemme de faire les calculs ^^. Ca m'a fait réviser mes formules de trigo, tiens !)

PS : Je développe l'idée. Elle tient en la décomposition de 24 en produits de telle sorte qu'il existe des entiers a et b vérifiant .

A partir de là, et si l'exercice est bien fichu, les \alpha et \beta sont tels que les pi/alpha et pi/beta sont des valeurs connues ou bien on utilise les formule de l'angle double voire l'angle triple. Puis enfin, on utilise la formule d'addition

[Black Jack]

sin(Pi/6) = 1/2
cos(Pi/6) = (V3)/2

cos(2x) = 2cos²(x)-1
cos(Pi/6) = 2.cos²(Pi/12) - 1
cos²(Pi/12) = [1 + (V3)/2]/2 = (2 + V3)/4
et comme cos(Pi/12) > 0, on a : cos(Pi/12) = [V(2+V3)]/2

cos(Pi/12) = 2.cos²(Pi/24) - 1
cos²(Pi/24) = 1 + ((V(2+V3))/2)/2 = (2 + V(2+V3))/4

sin²(Pi/24) = 1 - cos²(Pi/4) = 1 - (2 + V(2+V3))/4 = (2 - V(2+V3))/4

tg²(Pi/24) = sin²(Pi/24)/cos²(Pi/24)
tg²(Pi/24) = (2 - V(2+V3))/(2 + V(2+V3))

Et comme tg(Pi/24) > 0, on a :


Relation qu'on peut triturer si on la veut sous une autre forme...

:zen:

[Ben314]

Salut,
Perso, je trouve pas ça trés marrant comme question : les formules bien connues d'arc moitié (si on pose t=tan(t/2) alors...) permettent de façon mécanique de déduire les sin, cos et tan de alpha/2^n partant de alpha, donc par exemple de calculer tout les tan(Pi/(3.2^n)) partant de tan(Pi/3) et tout les tan(pi/2^n) partant de tan(pi/4).

Il serait donc plus interessant de demander par exemple la valeur exacte de ...

[Anonyme]

Il serait donc plus interessant de demander par exemple la valeur exacte de ...

Je trouve .

Mais c'est assez long:

J'exprime en fonction de .
en posant je trouve:


Pour :

On trouve

Ses racines sont :





seul est acceptable car positive et inférieure a 1. (car est str croissante sur )

[Ben314]

C'est parfaitement correct (pour la méthode : j'ai pas regardé les calculs...)
Aprés, si tu est super courageux en calcul, tu peut essayer de t'atteler à
puis, si tu est un peu fou des calculs, tu fera
et enfin, si tu est dément de calculs tu fera ...

Sinon, pour , au lieu de partir de , il est légèrement plus rapide d'écrire que

[Anonyme]

C'est parfaitement correct (pour la méthode : j'ai pas regardé les calculs...)
Aprés, si tu est super courageux en calcul, tu peut essayer de t'atteler à
puis, si tu est un peu fou des calculs, tu fera
et enfin, si tu est dément de calculs tu fera ...

Sinon, pour , au lieu de partir de , il est légèrement plus rapide d'écrire que

J'ai reconnu les dénominateurs il s'agit des nombres de Fermat (les 2eme , 3eme et 4eme ). Je pense qu'il faut essayer d'exprimer l'un par rapport a son précédant ..

[Black Jack]

Salut,
Perso, je trouve pas ça trés marrant comme question : les formules bien connues d'arc moitié (si on pose t=tan(t/2) alors...) permettent de façon mécanique de déduire les sin, cos et tan de alpha/2^n partant de alpha, donc par exemple de calculer tout les tan(Pi/(3.2^n)) partant de tan(Pi/3) et tout les tan(pi/2^n) partant de tan(pi/4).

Il serait donc plus interessant de demander par exemple la valeur exacte de ...

Je suis d'accord que ce genre d'exercice n'a rien de marrant ...
Mais cela a un seul but, apprendre à ne pas faire de fautes connes.

Ce n'est peut être pas marrant, mathématiquement parlant, mais c'est essentiel "ingénieurement" parlant.

Lorsque j'entends des réflexions comme " je n'ai pas la bonne réponse, mais c'est du uniquement à une erreur bête d'inattention... et donc la cote méritée devrait être bonne quand même.", cela me fait hurler de rire.
Tu iras dire cela à celui dont un proche s'est fait ensevelir par l'écroulement d'un hall de terminal d'un aéroport ( tiens cela me rappelle quelque chose), "Oui, il y avait eu une erreur de distraction en introduisant les données dans le programme de calcul ... mais le raisonnement était quand même correct et donc l'erreur n'est pas vraiment grave".

Apprendre à conduire un calcul long , même sans vraie difficulté, sans se planter est primordial et loin d'être à la portée du premier quidam qui passe ...

J'ai eu un prof (étude d'Ingénieur) dont la seule manière de coter un exercice était : La réponse finale est fausse : résultat 0 quelle que soit la manière d'y arriver (même un bête erreur à la dernière ligne du raisonnement). Résultat correct, alors recherche, par le prof, de la rigueur pour arriver à la solution pour determiner les points mérités.
Dur ?
Non, ... c'est la seule manière admissible dans la vie réelle. Mais si tous les profs agissaient ainsi, le taux de réussite serait ce qu'il devrait être, beaucoup plus proche de 0 % que de 100 %... Mais ce ne serait pas poliquement correct.

:zen:

[Ben314]

Perso, je suis aussi prof dans le supérieur et ma façon de noter (ainsi que celle de tout mes collègues) est :
Raisonnement correct mais erreur de calcul = 90% de la note.
De plus, à partir du L3/M1, les erreurs de calculs se raréfient, vu qu'il y a de moins en moins de calcul...

Je trouve ça assez con de tester quelqu'un pour voir s'il sait faire (forcément beaucoup moins vite) ce que fait trés bien Mapple ou Wolfram...

Donc, pour te citer, "Apprendre à conduire un calcul long , même sans vraie difficulté, sans se planter est..." de plus en plus totalement inutile : on ne cherche pas à former des "petits singes" qui appliquent des formules : l'ordinateur est là pour ça.

[Black Jack]

Perso, je suis aussi prof dans le supérieur et ma façon de noter (ainsi que celle de tout mes collègues) est :
Raisonnement correct mais erreur de calcul = 90% de la note.
De plus, à partir du L3/M1, les erreurs de calculs se raréfient, vu qu'il y a de moins en moins de calcul...

Je trouve ça assez con de tester quelqu'un pour voir s'il sait faire (forcément beaucoup moins vite) ce que fait trés bien Mapple ou Wolfram...

Donc, pour te citer, "Apprendre à conduire un calcul long , même sans vraie difficulté, sans se planter est..." de plus en plus totalement inutile : on ne cherche pas à former des "petits singes" qui appliquent des formules : l'ordinateur est là pour ça.

OK va dire cela à ceux qui ont rendu l'âme avec l'écroulement de la passerelle de l'aéroport et aux autres dans des circonstances similaires.

Ceux qui font des erreurs dans les calculs longs et sans difficultés sont les mêmes que ceux qui se s'apercoivent pas que le résultats de ce qui sort de leur calculateur ne peut pas être correct (quelle qu'en soit la raison, fusse une erreur bête d'entrée de données).

Il y a l'enseignement ... et la réalité du terrain.
Et on voit mes cata que cela entraine.

:zen:

[ffpower]

Bah en général ce genre de calcul de simulation est très long et complexe pour être vérifié à la main, par qui que ce soit. Donc ya eu erreur de prog, ok, et y'avait probablement moyen de prévenir ce genre d'erreur, mais à mon avis pas en vérifiant la justesse des calculs à la main..

[Anonyme]

Je trouve ça assez con de tester quelqu'un pour voir s'il sait faire (forcément beaucoup moins vite) ce que fait trés bien Mapple ou Wolfram...

En passant : j'envisage de me familiariser avec un logiciel de calcul formel tel que Wolfram (Mathematica) ou Maple. Lequel est "meilleur" ?

[Ben314]

Ceux qui font des erreurs dans les calculs longs et sans difficultés sont les mêmes que ceux qui se s'apercoivent pas que le résultats de ce qui sort de leur calculateur ne peut pas être correct (quelle qu'en soit la raison, fusse une erreur bête d'entrée de données).

Je connait au moins une personne incapable de faire deux calculs d'affilé sans se gourrer et tout à fait capable de voir si le résultat est correct : moi même... :mur: (et en cherchant un tout petit peu plus loin que mon nombril, il me semble que c'est une caractéristique TRES FREQUENTE chez les matheux... )

Aprés, concernant "l'écroulement de la passerelle de l'aéroport" ben je comprend pas bien de quoi tu parle.

Dernière remarque : il me semble qu'on est sur "math.forum", pas sur "ingénieur.forum"... :hein:

[Ben314]

En passant : j'envisage de me familiariser avec un logiciel de calcul formel tel que Wolfram (Mathematica) ou Maple. Lequel est "meilleur" ?

Je ne connait (bien) que Maple que je trouve trés bien (mais pour utilisation perso... trés cher...)

[Hir]

J'ai des cours de Maple en prépa mais le prof qui nous fait cours préfère mathematica, plus difficile à "apprendre", mais plus rigoureux dans la syntaxe.

[Black Jack]

Je connait au moins une personne incapable de faire deux calculs d'affilé sans se gourrer et tout à fait capable de voir si le résultat est correct : moi même... :mur: (et en cherchant un tout petit peu plus loin que mon nombril, il me semble que c'est une caractéristique TRES FREQUENTE chez les matheux... )

Aprés, concernant "l'écroulement de la passerelle de l'aéroport" ben je comprend pas bien de quoi tu parle.

Dernière remarque : il me semble qu'on est sur "math.forum", pas sur "ingénieur.forum"... :hein:

Celà c'est bien les matheux.
Si c'est pour apprendre des Maths pour des Maths sans avoir l'intention de les utiliser de manière concrète, c'est très bien, mais est-ce le but que devrait poursuivre l'enseignement ?

Cela me rappelle un politicien français qui préconisait de supprimer tout ce qui concerne l'étude des fonctions dans le Secondaire parce que les calculatrices graphiques s'en chargeaient bien.

:zen:

[Ben314]

Si c'est pour apprendre des Maths pour des Maths sans avoir l'intention de les utiliser de manière concrète, c'est très bien, mais est-ce le but que devrait poursuivre l'enseignement ?

Pour moi (et je suis loin d'être le seul), on ne fait absolument pas apprendre les math pour apprendre à construire des pont, des immeubles,... : ce serait débile de faire apprendre à tout les gamins un truc qui ne servira même pas à 0.1 % d'entre eux !!!
On fait apprendre les maths du fait que l'on considère que c'est l'une des matiére qui fait le plus réfléchir. On apprend les math pour apprendre à construire une reflexion (au sens scientifique du terme) et cela n'a pas grand chose à voir avec le fait d'être capable d'appliquer une "recette" sans se gourrer dans les calculs...

Cela me rappelle un politicien français qui préconisait de supprimer tout ce qui concerne l'étude des fonctions dans le Secondaire parce que les calculatrices graphiques s'en chargeaient bien.

Tant dit que ce que tu préconise, c'est de vérifier que ce sont de bon petits "singes savants" : on leur donne un formulaire contenant une liste de calculs à faire et on regarde si ils trouvent la bonne solution...
Je t'avoue que honnètement, c'est assez souvent comme ça que le système scolaire en math est vécu "le nez dans le guidon" :
Je fait des tonnes de calculs... Pourquoi je fait ces calculs là ? J'en sais rien (tient d'ailleurs, je me suis même pas posé la question du pourquoi...)

Ce reproche ("le nez dans le guidon"), c'est celui que je fait à l'immense majorité de mes étudiants (au moins jusqu'au Master).

[Black Jack]

"On fait apprendre les maths du fait que l'on considère que c'est l'une des matiére qui fait le plus réfléchir."

Et tu penses que c'est réussi de la manière que c'est enseigné ? ... quand on voit le niveau moyen des étudiants en fin de secondaire, je n'en suis pas très sûr ?

On leur apprend juste à utiliser quelques "formules" dont ils ne comprennent ni les tenants, ni les aboutissants. C'est d'ailleurs la question classique : "Quelle est donc la formule qu'il faut employer ?"
On les tient par la main en leur indiquant la voie à suivre par 10 sous-questions au lieu de les laisser réfléchir ...

Mais il reste quand même plus qu'utile d'arriver à mener des calculs sans se tromper 10 fois par lignes, même si ces calculs sont simplistes.

En tous cas, le but est réussi, tout le monde aura le bac.

:ptdr:

[Ben314]

Si c'est uniquement pour constater que l'objectif visé en disant :
"On fait apprendre les maths pour faire apprendre à réfléchir"
n'est à l'heure actuelle pas atteint (et c'est le moins que l'on puisse dire !) à l'issu du bac, je suis 100% d'accord avec toi.
Sauf que justement, je considère que cet objectif n'est pas atteint du fait que l'on présente beaucoup trop les math comme "un apprentissage à faire des calculs" au détriment de "un apprentissage à construire un raisonnement" et c'est de ce fait que je considère qu'un exo se résumant à une série de calcul et ne nécéssitant aucun raisonnement n'est pas d'un grand intérêt.

[benekire2]

Si c'est uniquement pour constater que l'objectif visé en disant :
"On fait apprendre les maths pour faire apprendre à réfléchir"
n'est à l'heure actuelle pas atteint (et c'est le moins que l'on puisse dire !) à l'issu du bac, je suis 100% d'accord avec toi.
Sauf que justement, je considère que cet objectif n'est pas atteint du fait que l'on présente beaucoup trop les math comme "un apprentissage à faire des calculs" au détriment de "un apprentissage à construire un raisonnement" et c'est de ce fait que je considère qu'un exo se résumant à une série de calcul et ne nécéssitant aucun raisonnement n'est pas d'un grand intérêt.

Salut,

Ba savoir faire des calculs ( de dérivée, de primitive "faciles" etc .. ) c'est utile, enfin disons qu'il faut savoir comment faire. A partir du moment qu'on sait faire , cela n'a plus aucun intérêt. En l'occurence ce "défi" n'a probablement pas sa place dans la section défi mais plutôt dans la section "qui connait ses formules de trigo".

Sinon tout ce qui est du style "cos(pi/5)" je trouve cela plus intéressant . En l'occurence c'est classique le cos de pi/5 et je préfère de loins, la démo "géométrique" , sinon pour le cos de pi/257 c'est totalement inhumain, enfin au niveau du résultat il faut a peine 39 pages : http://paul.barbaroux.free.fr/documents/cosPi257.pdf

et pour la méthode perso soit on exprime ... cos(257a) en fonction de cos(a) comme Qmath, mais là les polynômes seront carrément méchant donc c'est théorique , soit on factorise X^257-1 et on "conclu" ... mais avant de le factoriese :doh: Déjà que je me rappelle pour X^17-1 c'était la misère ...

S'il y a plus rapide , ou alors qqch qui amène a une "vraie" conclusion, faites moi signe :we: