Equations différentielles

[Antony67]

Bonjour, pourriez vous m'aider à résoudre ces équations svp?


1) Soit (E) : (1-x²)*y" - (x+4racine(1-x²))y' + 5y = 4Arcsin(x)*e^(2Arcsin(x))*racine(1-x²)
Résoudre (E) sur l'intervalle ]-1;1[ à l'aide du changement de variable x=sin téta

2) Soit (E) : (x^4-x²)y" + (2x-x^3)y' + (x²-2)y = 2x^3 - 4x^5
Résoudre (E) sur l'intervalle ]1;+l'infini[ à l'aide du changement de fonction inconnue z = y/x

Merci d'avance.

[Black Jack]

Aide pour le second ... pour montrer une approche possible pour ce genre de problème.

z = y/x (x différent de 0)

dz = dy/x - (y/x²)dx
dz/dx = (1/x).(dy/dx) - y/x²

dy/dx = x.(y/x² + dz/dx)
dy/dx = y/x + x.dz/dx
dy/dx = z + x.dz/dx

d²y/dx² = dz/dx + dz/dx + x d²z/dx²
d²y/dx² = 2.dz/dx + x d²z/dx²

(x^4-x²).(2.dz/dx + x d²z/dx²) + (2x-x³).(z + x.dz/dx) + (x²-2).x.z = 2x³-4x^5

(x^5-x³).d²z/dx² + (2x^4-2x²+2x²-x^4).dz/dx + (2x-x³+x³-2x).z = 2x³-4x^5
(x^5-x³).d²z/dx² + x^4.dz/dx = 2x³-4x^5
(x²-1).d²z/dx² + x.dz/dx = 2-4x²

Et en posant dz/dx = v, il vient:
(x²-1).dv/dx + x = 2-4x²
dv/dx = (2-4x²-x)/(x²-1)

Cette équation devrait être facile à résoudre ... et donc à trouver v(x) = ...
Et puis remonter ensuite à z(x) = ... et enfin à y(x) = ...

Aucuns calculs vérifiés.

:zen: