Somme d'inverses

[Dinozzo13]

Bonsoir, auriez-vous un exercice guidé permettant de trouver .
Je sais que cette somme converge car j'ai montrer par récurrence, pour tout n non nul, que cette somme est toujours inférieure à n.

(Il me semble que , mais je ne sais pas si c'est juste et si ça pourrais me servir)

[Doraki]

Bonsoir, auriez-vous un exercice guidé permettant de trouver .
Je sais que cette somme converge car j'ai montrer par récurrence, pour tout n non nul, que cette somme est toujours inférieure à n.

Donc cette somme est globalement majorée par n ?

[Arnaud-29-31]

Salut,

Malheureusement, ta somme ne converge pas ...

[Hir]

Pour info, l'étude de la convergence d'une série se fait à l'aide de plusieurs critères, qui sont généralement vus en bac+2.
C'est pas très dur, mais c'est pas quelque chose que t'improvises, et faire une récurrence pour prouver une convergence de série ça me parait un peu osé.

[Arnaud-29-31]

Il faut savoir que converge pour tout p > 1
Tu peux regarder du coté de la fonction dzeta de Riemann si tu veux des infos.

La somme que tu propose est équivalente en à , tu peux t'amuser à regarder du coté de la constante d'Euler et montrer que converge.

[Ben314]

Salut,
En guidant un peu, ça peut à peu prés se faire niveau Lycée :

Pour tout entier , on pose .
1) a) Ecrire sous forme d'une somme.
b) Combien de termes contient cette somme ?
c) Quel est le plus petit de ces termes ?
d) Que peut on en déduire ?
5) Montrer par récurrence sur que, pour tout entier naturel ,
6) a) Montrer que, pour tout entier , il existe un entier tel que .
b) En déduire que, pour tout entier ,
8) Conclusion.

[ffpower]

Une fois qu'on a la minoration de S(2n)-S(n), l'exercice est fini non? Certes on a pas la vitesse de divergence, mais on a la divergence..

[bentaarito]

Une fois qu'on a la minoration de S(2n)-S(n), l'exercice est fini non? Certes on a pas la vitesse de divergence, mais on a la divergence..

oui à mon avis le reste c juste un supplémentaire car au niveau lycée on sait que si ne tend pas vers 0 alors diverge

[Ben314]

oui à mon avis le reste c juste un supplémentaire car au niveau lycée on sait que si ne tend pas vers 0 alors diverge

On peut effectivement dire que c'est du "rab", mais en fait, je ne savait pas si niveau Lycée, ils avaient l'habitude d'utiliser l'argument " ne tend pas vers 0 alors diverge" qui est plus souvent utilisé pour des séries que pour des suites...

Sinon, je me demande si pour des "bonnes terminales", on peut pas aussi utiliser une comparaison série intégrale (évidement en détaillant les étapes et en ne raisonant que sur la fonction x->1/x et pas dans le cas général).
On peut aussi directement demander d'étudier les variations de t->1/t-ln(t)+ln(t+1) pour en déduire que 1/n>=ln(n)-ln(n+1) puis faire une réccurence...

[benekire2]

On peut effectivement dire que c'est du "rab", mais en fait, je ne savait pas si niveau Lycée, ils avaient l'habitude d'utiliser l'argument " ne tend pas vers 0 alors diverge" qui est plus souvent utilisé pour des séries que pour des suites...

Sinon, je me demande si pour des "bonnes terminales", on peut pas aussi utiliser une comparaison série intégrale (évidement en détaillant les étapes et en ne raisonant que sur la fonction x->1/x et pas dans le cas général).
On peut aussi directement demander d'étudier les variations de t->1/t-ln(t)+ln(t+1) pour en déduire que 1/n>=ln(n)-ln(n+1) puis faire une réccurence...

Salut Ben ,

Pour la fin de ton message et la comparaison série intégrale , évidemment ça dépend de ce que tu appelle "bon terminale" et de ce que c'est que ton niveau de "questions intermédiaires" :ptdr: Parce que les "bonnes terminales" j'entends par là genre 15 de moyenne ne sont pas forcément ... si bons que ça ...

Sinon, effectivement l'argument que tu cite au début , on ne le rencontre pas trop en TS ,
Sinon tu dit que si la série possède une limite alors forcément u_2n-u_n --> 0 (bon ok , il y a un passage à la limite dedans) et d'un autre côté u_2n-u_n >1/2 ...

Mais sinon pour dinno , il peut encadrer 1/x sur [k,k+1] appliquer le TAF , sommer , arranger le tout , diviser par ln(n) et puis conclure que la série harmonique est équivalente à ln(n) et il peut continuer si cela lui chante :lol3: