Problème "élémentaire" avec dérivation : comment s'y prendre

[Virjule]

Bonjour,

Dans mon cours de mathématiques nous venons de revoir les dérivées et tout ce qui va avec, et on a aussi commencé les intégrales ... avec les devoirs qui vont avec. En fait, j'ai plusieurs problèmes dits "élémentaires" qui nécessitent l'utilisation de la dérivation (suivant les conseils d'assistants, qui n'ont pas voulu détailler plus pour ne pas me donner trop d'éléments de réponse), sans quoi on trouve des réponses abracadabrantesques avec un raisonnement normal. Voilà un exemple de problème (que je n'ai pas su résoudre pour le devoir, mais que j'aimerais pouvoir résoudre à l'avenir) :

Une population de bactéries est attaquée par un agent extérieur faisant en sorte qu'à chaque instant,
le taux de changement de la population soit proportionnel à celle-ci. Si on suppose que la constante
de proportionnalité est égale à -0:028,
- écrire une équation reliant la population et le taux de changement de celle-ci à chaque instant
- que vaut le taux de changement après une minute si la population à ce moment est de 3 millions
d'individus ?

(je ne mets que celui-là sinon ce serait trop simple)

Mon problème, c'est que je ne vois pas comment appliquer concrètement la dérivation pour obtenir une formule qui me permettrait de trouver l'équation recherchée (qui est la clé de la résolution). Quelqu'un peut-il m'expliquer plus en détails ? Merci d'avance !

[Black Jack]

Le "Taux de changement" de la population par rapport au temps est la dérivée de la population par rapport au temps. (variation de la population pendant une durée lorsque cette durée tend vers 0, c'est la définition de la dérivée).

Si on note y(t) la population à l'instant t, le taux de variation de cette population par rapport au temps est donc dy(t)/dt, qu'on note plus simplement dy/dt

Et on te dit que le taux de variation de cette population par rapport au temps est proportionnel à la population (et donc vaut k.y avec k une constante) et comme de plus la population est "attaquée" cela signifie que la population diminue avec le temps ... et que donc le coefficient de proportionnalité est négatif --> k est négatif.

On a donc dy/dt = k.y et k est négatif.

L'énoncé te donne la valeur de k (-0,028) et on a donc: dy/dt = -0,028.y

c'est l'équation différentielle reliant la population et le taux de changement de celle-ci à chaque instant t.

La résolution de cette équation en tenant compte de la population initiale (y(0) = 3 000 000) te donnera l'expression de y(t) ...
*****

Remarque :
L'énoncé comporte une lacune grave, il omet de donner l'unité de k.

On ne peut que supposer que la valeur donnée pour k est valable pour t exprimé en minutes (à cause de la question "que vaut le taux de changement après une minute ...") mais cela "ne va pas sans dire".

L'énoncé n'a un sens (physique) que si il précise l'unité du coefficient de proportionnalité donné (par exemple le min^-1).

:zen:

[Virjule]

Merci beaucoup pour toutes ces explications ! :)