Exercice : Lois de Composition Interne

[Blakes_x]

Bonjour à tous ! :id:

Voilà, je vous expose mon petit problème :

Je viens de résoudre un exercice sur les Lois de Composition Interne plutôt court où l'on me demandait de Determiner l’ensemble P des éléments symétrisables sachant que la loi de composition interne * dans R² est définie par :

(x, y) * (x;), y;)) = ( xx;), xy;) + y )

Petite question bête au passage : Les éléments symétrisables, se sont les éléments admettants un inverse par * ?
(En cours on utilise plus le terme d'éléments inversibles donc j'ai un léger doute. )

Après avoir trouvé l'élément neutre : ( 1 , 0 ) , je dis que :

Les éléments symétrisables sont les couples (a,b) tels que : (x, y) * (a,b) = ( 1 , 0 )

J'en déduis : ( xa,xb + y) = ( 1 , 0 )

Soit le système :
xa = 1
xb + y = 0

D'où :
a = 1 / x ; pour x différent de 0
b = -y/x ; pour x différent de 0

La solution proposée par l'exercice est :

P = R* x *

Mais je ne comprends pas ce que représente ce produit cartésien ... :hein:

Pour moi : Tous les éléments sont inversibles d'inverse (1/x,-y/x) sauf le couple (0,y) avec y un réel, donc ma solution à moi ça aurait été :
P = R* x R
car : P = {;)x;)R* y;)R (a,b);)R² ( x, y ) * ( a, b ) = ( 1, 0 ) }

Voilà ma question en gros : Que veut représente P = R* x * ? et ma solution à moi est-elle fausse ?

[Ben314]

Salut.
Pour les éléments "symétrisables", ce sont effectivement un autre nom pour les éléments inversibles (http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89l%C3%A9ment_sym%C3%A9trique)
Bon, pour l'élément neutre, c'est O.K., mais pour les inversibles, ta rédaction ne va pas et ça fait que tu fait n'importe quoi comme calculs ensuite.

On se donne un couple (a,b).
On veut savoir s'il est inversible (par exemple) à gauche , c'est à dire s'il existe un couple (x,y) de R² tel que (x,y)*(a,b)=e.
Si tu écrit proprement cette phrase, il t'apparaitra clairement que, dans le système que tu as à résoudre, les inconnues sont x et y (on cherche s'il existe x et y tels que...) et que a et b sont des paramètres.
Donc pour ton système
xa=1
xb+y=0
la réponse que tu doit donner est :
Si a=0, il n'y a pas de solutions (x,y) donc (a,b) n'est pas inversible à gauche.
Si a est non nul alors la seule solution est x=1/a ; y=-b/a qui donc l'unique inverse à gauche de (a,b). Reste à vérifier si c'est aussi l'inverse à droite... (ce qui est vrai)

Bon, en ce qui concerne la fin, ben vu que tu as trouvé que (a,b) est inversible ssi a est non nul, l'ensemble des inversibles, c'est bien R*xR (où R* c'est R privé de 0)

[windows7]

salut,

on dit de x qu'il est symetrisable=inversible si il admet un symetrique a gauche et un symetrique a droite.
dans le cas general il n'y a aucune raison que le symetrique a droite et le symetrique a gauche soit le meme.
par contre si la loi de composition interne est associative alors la on a l'égalite et l'unicité

[Blakes_x]

:doh: ...Désolé, je me suis un peu précipité et je me suis mal exprimé, je confonds souvent les symétriques et les éléments symétrisables.

Ce que j'entendais par là c'est que (x,y) étaient les éléments admettants un inverse et (a,b) le couple inverse.

J'ai aussi oublié de mentionner que la première question de l'exercice était de montrer l'associativité de la loi * ( ça m'a paru assez trivial et je n'avais pas réalisé l'importance de cette question :hum: )
Du coup, il n'est pas nécessaire de montrer l'inversibilité à gauche et à droite puisque si un couple (x,y) admet un inverse (a,b) alors il est unique.

En gros, je voulais dire : Les éléments symétrisables sont les couples (x,y), admettant un symétrique (a,b) tels que : (x, y) * (a,b) = ( 1 , 0 )

Merci de votre aide en tout cas, mais dans ce cas je ne comprends toujours pas ce qu'est :

P = R* x *

R* c'est l'ensemble des réels privé de 0.
Mais * est une loi de composition interne, pas un ensemble...si ? :hein:
..car auquel cas, ça n'a pas de sens de faire le produit cartésien d'un ensemble et d'une application *

[Ben314]

Du coup, il n'est pas nécessaire de montrer l'inversibilité à gauche et à droite puisque si un couple (x,y) admet un inverse (a,b) alors il est unique.

Si.
Ta loie est associative certe, mais pas commutative donc l'existence d'un inverse à gauche ne prouve pas qu'il existe un inverse à droite mais uniquement que, si cet inverse à droite existe, alors c'est forcément le même que l'inverse à gauche.

Enfin, je te l'ait déja écrit, l'ensemeble des inversibles, c'est effectivement et surement pas qui effectivement ne veut rien dire.

[Blakes_x]

Ahlala, j'enchaîne les fautes sur les fautes :hum: ...

Mais cette fois, je pense avoir compris. En tout cas merci.
Au passage, en espérant ne pas abuser de votre aide...,j'aurais voulu savoir si cette démonstration est rigoureuse et correcte :

Le but étant de démontrer que si * est associative et possède un élément neutre e, alors si x est inversible, son inverse est unique

Hypothèses : Soit ( E, * ) un ensemble structuré avec * associative et admettant pour élément neutre e.
On suppose aussi que : x;)E (x',x'');)E² | x * x' = e = x' * x et x * x'' = e = x'' * x (1)

(1) et * une application => x * x' = x * x''

=> x' * (x * x') =x' * ( x * x'' ) (2)

(2) et * associative => x' * e =(x' * x ) * x''

=> x' * e = e * x''

=> x' = x''

[Ben314]

Oui, ca me parrait parfaite ment correct.

P.S. Essaye d'éviter les fontes de caractères un peu "bizares" dans lesquelles tu as des caractères "il existe" et "quelque soit" : sur un certain nombre de machine (par exemple celle de ma copine sur laquelle je suis...) elles n'aparaissent pas.
Pour tout ce qui est un peu mathématique, utilise plutôt MimeTeX :
http://www.maths-forum.com/ecrire-belles-formules-mathematiques-balises-tex-70548.php

[Blakes_x]

:hein: Oooh. Je n'y avais pas pensé en effet. Je pensais que ces caractères étaient visibles quelque soit l'ordinateur...

Bah écoute merci pour le lien, j'y ferai attention la prochaine fois que j'aurai à utiliser des quantificateurs :lol3: