Divisibilité et Pgcd

[Mo0x]

Bonsoir, Je suis élève en terminal S spé math.

Actuellement je suis confronté un problème sur lequel je reste totalement coincé.
voici mon problème :

On considère un entier naturel n supérieur ou égal à 5 et on pose :
x = n3 - n² -12n et y = 2n² - 7n - 4

Montrer que x et y sont deux entiers naturels divisibles par n-4.

Je ne sais vraiment pas quoi utilisé la moindre aide et la bien venu.

Cordialement Mo0x

[Mo0x]

désolé pour le double poste j'ai réussi avec bien de la chance a trouver que

x = n(n-4)(n+3) et que y=(2n+1)(n-4)

Mais c'été plus de la chance que autre chose j'ai vraiment du mal pour la factorisation si quelqu'un peu me decrire qu'elle aurait été les étape a faire pour factoriser ces polynômes il serait le bienvenue =)

[Rebelle_]

Bonsoir ! =) (chacun son rythme XD)

Tout d'abord il me semble important de noter que les deux expressions développées que tu as là ne sont pas des polynômes, pour la bonne et simple raison que des polynômes sont définis sur R (en tout cas au lycée) ce qui n'est pas le cas ici. La variable n est un entier naturel.

Néanmois, le procédé qui permet de trouver les racines est semblable. Tu peux commencer par trouver des racines évidentes (dans le premier cas 0, 3 et 4) puis factoriser. En développant tu remarques que tu tombes sur la même expression.

:)

[Nightmare]

Hello !

Ju > Tu te fais une idée bien terre à terre des polynômes. Un polynôme, c'est une somme de monômes, et n^3, n² et -12 sont bien des monômes.

[vincentroumezy]

Avez vous pensé à la division euclidienne ?

[Rebelle_]

Salut Nightmare =)

Oui, c'est vrai que de ce point de vue...
Mais je voulais dire qu'ici il semblerait étrange d'étudier les polynômes du style P(n) = 2n² - 7n - 4 en sachant qu'au lycée on définit un polynôme comme étant de la variable réelle, or d'après l'énoncé n est un entier naturel. Dans mon sens ça rend impossible l'utilisation du discriminant et pourquoi pas de la dénomination de "racine évidente" :/

Pour utiliser cette méthode on peut par contre poser f la fonction polynôme définie sur R telle que f(x) = 2x² - 7x - 4. On l'étudie : racine évidente 4 puis seconde racine -1/2. On en déduit que l'expression 2n² - 7n - 4 se factorise telle que (2n+1)(n-4), avec n entier naturel supérieur ou égal à 5.
Enfin c'est comme ça que je procèderais ^^'

[lysli]

Salut,
Pour le
x = n³ - n² -12n
= n(n²-n-12)
là tu peux factorisé n²-n-12 en utilisant delta et tu retrouves la forme factorisé de x :)

[Rebelle_]

Utiliser le discriminant (qui s'applique d'après la définition donnée en lycée à des polynômes du second degré de la variable réelle) en sachant que n est naturel...... ?

[lysli]

Ben moi j'ai juste chercher à factoriser n²-n-12 avec les outils que je connais :) Après niveau rigueur je ne sais pas...
On peut poser : P(n)= n²-n-12 ... et écrire le discriminant ensuite nan?
Mais il y a bien d'autre manière à procéder comme vincentroumezy a proposé

[Rebelle_]

Hum en tout cas c'est le leitmotiv de ma prof en ce qui concerne ce genre de problèmes :/

[Nightmare]

Ju > Je comprends ta réticence, mais au contraire, quand on voit ce qui marche pour les polynômes réels (par exemple discriminant) on a justement envie de croire que ça marche un peu partout pareil, pas seulement sur R. D'ailleurs c'est le cas, la méthode du discriminant à toujours un sens, disons pourvu que celle de "racine carrée" a elle aussi du sens.

De toute façon, il y a une distinction à faire, qu'on ne fait légitimement pas au lycée, celle entre un polynôme, qui est objet formel dépendant d'une grandeur (ou plusieurs) X dite indéterminée, où dans ce cas, un polynôme n'est ni "défini" sur R, ni sur C ni sur rien du tout (par contre, ses coefficients eux se baladent quelque part) et une fonction polynomiale où là on décide de faire vivre l'indéterminée dans un ensemble, qui est souvent R ou C au lycée effectivement.