Relation a montrer

[bender]

Bonjour,

Je suis bloqué sur une relation. Je ne sais pas si elle est valide ou non.

Soit une matrice et deux matrices unitaires et
J'aimerai montrer les implication suivantes:

Si
et

avec et diagonales

Alors

avec

il est clair que les valeurs propres de et sont les mêmes et donc . Je ne sais pas si cette implication est vraie. La preuve pour des matrices réelles me suffirait. dans ce cas et sont orthogonales

Cordialement

[Ben314]

Salut,
1) hermitiques = hermitienne (= autoadjointe) ? (il me semble avoir déjà entendu ce terme mais je suis pas sûr)
2) C'est qui que tu note ?

Bon, je comprend vraiment pas trop...
Au début, je pensait que ton , c'était l'adjoint ce qui avait le bon gout de faire que et était autoadjointes, mais ça ne colle pas franchement avec le reste : dans ce cas, et devraient être unitaires (et pas forcément autoadjointes)...

[bender]

Désolé je me suis trompé je voulais écrire unitaire.... je corrige ça tout de suite

[bender]

Effectivemen U et V sont unitaires j'ai corrigé l'énoncé. Désolé ce n'était pas très propre de ma part...

[Ben314]

Il y a un petit soucis au départ :

il est clair que les valeurs propres de et sont les mêmes et donc

est faux : l'ordre des termes sur la diagonale peut ne pas être la même pour d_1 et d_2.

Bon, j'ai peut être un truc, mais pas avec exactement les mêmes hypothèses (et je note l'adjoint) ni le même résultat...
On suppose que avec unitaires et diagonale , avec uniquement des valeurs propres simples et non nules (non nulles inversible)

On pose et . est clairement autoadjointe et, comme , on a , c'est à dire : est unitaire.

Comme on a et, vu que est à valeurs propres simples, cela montre que où est une matrice diagonale dont les termes diagonaux sont des complexes de module 1.

On a donc
Mais je pense (trés fort) qu'il n'y a aucune raison que l'on ait forcément (à mon avis, on doit pouvoir se passe de " inversible" en rédigeant mieux, mais le "à valeur propres distinctes" me parrait asses indispensable : si on part par exemple de alors il y a des tas de possibilités pour et pour !!!

[bender]

Un seul mot merci! C'est la première fois que je viens sur ce forum. Je n'hésiterai pas à la refaire.

En effet Il faut ajouter l'hypothèse qu'on choisi et tel que avec valeurs propres non nulles.

Ensuite je pense avoir compris ta preuve. De plus j'ai besoin de cette relation pour une matrice réelle. On peut donc prendre et orthogonales. Cela nous permet, si je ne me trompe pas, de se passer de la matrice .

Merci mille fois. J'utilise cette relation dans un projet en physique. Simplement je voulais la prouver pour la comprendre. Mes cours d'algèbres sont assez lointains....

[Ben314]

Si tu suppose les valeurs propres de distinctes et réelle, la matrice peut encore contenir des sur la diagonale.
La matrice est alors une des racines carrées de la matrice , mais pas forcément "la" racine carrée (i.e. les termes diagonaux sont )

Enfin, je le redit, à mon avis, en rédigant différement, je pense que l'on peut se passer de l'hypothèse " inversible" (mais je sais pas si ça t'es utile)

[bender]

Dans mon problème les valeurs propres de représentent les masses de deux particules. Elles sont donc positives. De plus je peux encore faire l'hypothèse que que et ont un déterminant égale à un.Dans ce cas la je crois que la relation est valide et que

[Ben314]

Dans mon problème les valeurs propres de représentent les masses de deux particules. Elles sont donc positives. De plus je peux encore faire l'hypothèse que que et ont un déterminant égale à un.Dans ce cas la je crois que la relation est valide et que

Non, je ne pense pas.
Aux mieux, on pourrait en déduire que det(E)=1, mais même ça je n'en suis pas certain du tout...