Borne sup borne inf.

[Unknown-Girl]

Salut tout le monde, y a une exercice que j'arrive pas à résoudre :mur:


1. Déterminer la borne supérieure et inférieure de l'ensemble :
A = { + + ... + }.

2. Pour tout entier n strictement supérieur à 0, on définit l'ensemble = { k + ; }.
Montrer que admet une borne inférieure et que .

3. Montrer que , inf.

Merci d'avance.

[Doraki]

Tu as essayé de simplifier l'expression an = 1^3/n^4 + 2^3/n^4 + ... + (n-1)^3/n^4 ?
ou de regarder si la suite (an) était monotone ?

Pour le reste, tu as essayé d'étudier la fonction k -> k+n/k ?

[Unknown-Girl]

Ouais pour la toute première question j'ai simplifié et j'ai trouvé à la fin que A={ } Par conséquent, tout x de A est compris entre 0 et .
Puisque 0 appartient à A donc c l'inf, mais pour le sup j'essaie de trouver un tel que mais j'obtiens que ce qui est impossible !

[Doraki]

Là j'aimerais bien que tu m'expliques comment tu pars de 1/4 - ;) <= 1/4 (1-1/n)² pour arriver à n² <= -1/;).

Tu sais que dans l'inéquation de départ, quand n tend vers l'infni, à partir d'un moment elle doit être vraie, alors que dans ce que t'obtiens, tu l'as dit, c'est impossible.
Donc tu t'es forcément trompée quelquepart.

Par exemple, si ;) = 1/4, n'importe quel n doit convenir.

[Unknown-Girl]

On a
Donc

On peut négliger 1/2n parce que ça tend vers 0 à l'infini, et puis on simplifie par 1/4
On obtient donc - inférieur à
d'où inférieur à -1 sur 4

[Doraki]

Bon alors non seulement ton approximation est mauvaise, mais la fin de ton calcul est aussi mauvaise.

Admettons que je te laisse dire "1/4 - ;) <= 1/4(1+1/n²)".
Donc -;) <= 1/4n², oui.
Or, -;) est négatif, et 1/4n² est positif.
Donc n'importe quel n convient.

Tu ne peux pas dire que comme x -> 1/x est décroissante, ça équivaut à -1/;) >= 4n², parceque
x -> 1/x est décroissante sur R+* ou sur R-* mais pas sur les deux à la fois. C'est inutilisable quand les 2 trucs sont de signes différents. -1 <= 1, mais il est faux que -1 = 1/(-1) >= 1/1 = 1.

Par contre tu peux toujours multiplier par n² et diviser par (-;)) (négatif donc ça change le sens) pour obtenir n² >= -1/4;).

Mais en fait, comme 1/4 <= (1-2/n+1/n²) <= 1/4(1+1/n²), tu as élargi l'ensemble des solutions donc tu trouves des solutions à l'approximation qui ne sont pas des solutions du problème initial.


En fait, 1/n² est beaucoup beaucoup plus négligeable que 1/n.

Quand x tend vers 0, (1-x)² est approximé par 1-2x (-2 = la dérivée de la fonction en 0).

Donc quand on cherche un n tel que 1/4 - ;) <= 1/4(1-1/n)²,
il est raisonnable de chercher un n tel que 1/4 - ;) <= 1/4(1-2/n) < 1/4(1-1/n)²
Là on a de la chance, l'inégalité entre l'approximation et le truc initial est dans le bon sens.
Au lieu d'élargir l'ensemble des solutions, tu le réduis.

Pour être sûr de pouvoir encore trouver une solution en remplaçant (1-1/n)² par (1-2/n),
tu peux vérifier que quand n -> l'infini, 1/4(1-2/n) tend toujours vers 1/4, donc tu trouveras des solutions et tu peux continuer.

[Unknown-Girl]

Bon pour la toute première question c'est réglé, mais je me bloque dans les 2 questions qui suivent, et je vois pas le lien entres ces 2 questions et la première question de l'exo !!

[bentaarito]

bon pour la deux il suffit d'étudier le sens de variation de
tu dois trouver qu'elle admet un min absolue en et donc t'auras même =.

pour la trois remarque que .

[Unknown-Girl]

J'ai étudié le sens de variation de et j'ai trouvé qu'elle est décroissante de 0 à et croissante de jusqu'à l'infini, avec donc par conséquent on a , mais là comment passer et conclure que ?

[Doraki]

montre que pour tout k dans N* il existe k' dans {1...n} tel que (k+n/k) >= (k'+n/k')