Sur la compacité

[nemesis]

Bonjour à tous,

Quels sont les ouverts relativement compacts d'un e.v.n de dimension infinie?

Merci encore

[Arkhnor]

Bonjour.

Il n'y a qu'un seul ouvert relativement compact en dimension infinie : l'ensemble vide. Cela résulte du théorème de Riesz qui dit qu'un espace normé qui possède une boule compacte est nécessairement de dimension finie.

[nemesis]

Merci arkhor, j'ai une autre question, comment montrer que si une partie A d'un e.v.n contient une partie B non relativement compacte, alors A n'est pas non plus relativement compacte ?

[Monsieur23]

Aloha,

Dans une partie relativement compacte, (dans un evn), toute suite admet une sous suite convergente.
Ne peux-tu pas trouver une suite de A dont on ne peut extraire aucune sous suite convergente ?

[nemesis]

Ne vaut il mieux pas montrer que si A est relativement compact alors toutes ses parties sont relativement compact, non ?

[Monsieur23]

Oui ça marche aussi. Enfin la caractérisation séquentielle est bien pratique dans les deux cas !