Série de Laurent

[Fløw]

Bonjour,
J'ai un exercice à réaliser dans le cadre de mes révisions pour un futur DS :
. Je dois développer cette fonction en série de Laurent sur la couronne définie par
J'ai donc tenté quelque chose..j'vous raconte !
1)
2)
3) Décomposition en éléments simples :
4) Développement de Taylor de chaque membre de l'expression :
Exemple pour le premier membre
(Somme juska 3 par exemple)
Pour ça j'utilise la formule de Taylor de , avec ici x = U/2 < 1 car z <2 (par définition de la couronne)
5) Donc à la fin j'obtient un truc horrible :

....
Le but étant de l'exprimer sous la forme de :
pour ensuite repasser avec les z avec u = z - 2 :


Auriez vous des idées ?

Merci d'avance. . . .

[Fløw]

On peut aussi écrire. . . :

Donc

[Ben314]

Salut,
J'ai l'impression, vu ton résultat :

qui ne contient que des puissances positives de u que tu n'as pas bien compris la subtilité du développement dans une couronne :
Quand tu as avec , dans les "u+2", le terme "le plus grand" est le 2 alors que dans le "u+1", le terme "le plus grand" est le 'u' ce qui amène à écrire par exemple que :
où est tel que et, quand tu développe en série, le donne des puissances positives de
mais par contre
où est tel que et, quand tu développe en série, le donne des puissances négatives de

Edit : en fait tu as systématiquement développé comme si c'était toujours le 'u' le plus petit et ton résultat correspond au D.V. en série dans le disque |z-2|<1 ce qui ne correspond pas à la question...

[Fløw]

Je venais à la seconde de le corriger, et je viens de voir ta réponse...c'est rageant, pris de vitesse XD

[Fløw]

J'ai corrigé toutes mes formules et j'obtient donc ceci

Ce dev est-il considéré comme une série de Laurent ?

[Ben314]

Ben déjà, ça correspond mieux à un D.V. dans une couronne...
aprés, j'ai pas fait les calculs (et si je les fait c'est 50% de chance que ce soit faux...) donc je sait pas si c'est les bonnes valeurs numériques.

A la rigueur, pour fair plus "série de Laurent", tu peut regrouper les deux sommes avec des puissances de u positives et écrire celle avec des puissances de u négatives sous la forme "somme de n=-oo à -1 de ..."

J'aurais tendance à mettre comme "résultat final" :

mais je suis pas sûr que ce soit "indispensable"...

[Fløw]

Ok merci ça a déjà une meilleure tête comme formule qu'au premier jet....Merci du coup de pouce ! :we:

[Fløw]

Deux questions me vient à l'esprit là.
1) Je possède deux professeurs de mathématiques
L'un dit qu'on ne peut développer sur car ce n'est pas une couronne, mais mon autre professeur (de TD) nous a pourtant fait une dev de Laurent, dont le résultat est d'ailleurs :
Qui a tord ? Qui a raison ? Pourquoi ?
2)Deuxième question :
Mon professeur de TD a posé que l'on ne pouvait pas développer en série de Laurent la fonction sur ...sans nous expliquer....Pourquoi ?

Merci d'avance.

PS : Je ne revois pas ces profs avant mes DS, d'oû ces questions....sinon je les leur aurais posé !

[Ben314]

Pour la première question, je donnerais plutôt raison au prof de T.D. en considérant que c'est une couronne dont le "grand" rayon vaut +oo (de la même façon, on peut dire qu'un disque, c'est une couronne dont le "petit" rayon vaut 0)

Pour la deuxième question, c'est assez simple : ta fonction admet un pôle en z=0 et, pas de pot, c'est pile "au milieu" de la couronne donc c'est foutu ! (pour ce genre de truc, il n'est pas interdit du tout de posséder un compas et... de faire un dessin !!!)

Plus précisément, ta fonction admet deux pôles : en z=0 et en z=1.
Si tu veut la développer sur une couronne centrée en z=2, tu peut
Soit le faire sur le disque |z-2|2 (qui "frole" le pôle z=0), mais uniquement avec le prof de T.D. :marteau:

Bien évidement, on peut le faire sur des couronnes "plus petites", par exemple pour 52 !!! (et c'est pour ça que je donnerais raison au prof de T.D....)

[Fløw]

Un compas ? quoi ? :doh:
..... :we: Oui en effet, avec un dessin ça se voyait tout de suite.... :mur: :briques:
On va dire que l'important est d'essayer de comprendre hein ! J'suis déprimant !
Merci pour l'explication.
Donc si je résume, On peut pas prendre 1< |z - 2 | <3 car la fonction n'est pas holomorphe dans cette couronne. Et pour la première question, c'est ce que j'avais déduis ^^. Je suis d'accord !

[Ben314]

C'est farfaitement ça.

Par contre, non, les gens qui cherchent à comprendre, ça ne me déprime pas du tout... :zen:

[Fløw]

Merci !
PS : J 'reviendrais souvent durant les trois années qui vont suivre alors :ptdr: ....


. . . Toujours motivé ?

[Ben314]

Si je suis pas là,... il y aura sans doute quelqu'un d'autre (et c'est bien comme ça)