Dev. en Série de Laurent

[Fløw]

Bonjour,
J'ai un exercice à travailler pour réviser un DS :
Il s'agit d'un simple développement en série de Laurent de la fonction suivante :
f(z) = (1+z)sin(z²)/(z^5)
Je suis donc parti sur la développement centré sur la singularité z=0 (qui est l'unique singularité , pôle d'ordre 5 si je ne me trompe pas). J'ai donc développé sin(z²) avec une série de taylor. Bref, à la fin j'obtiens f(z) = Somme de n = 0 à n [(-1)^n * (z^(4n)*((z+1)/((z^3)*(2n+1)!))] (Je sais pas comment la formule pour que vous voyez bien)

Je voulais donc savoir comment exprimer la formule sous la forme de f(z) = Somme(An*(z-a)^n) avec a = 0 et An = ça ou alors si mon expression actuelle suffisait pour dire que c'est un développement en série de Laurent...


Merci d'avance

[girdav]

Bonjour,
on effectue un développement en série entière au voisinage de de , ensuite il suffira de diviser par . Je crois que pour donner le coefficient de ce développement en série il faudra regarder le reste de modulo .

[Fløw]

Je vais regardé ça. . . mais ça revient à ce que j'ai fais il me semble.
(Question : Comment on fait sur ce forum pour écrire les formules comme tu viens de le faire ?)

[girdav]

Je vais regardé ça. . . mais ça revient à ce que j'ai fais il me semble.

Oui, c'est juste qu'il faut regrouper les termes et c'est assez fastidieux, mais pas difficile.
Pour les formules, il faut mettre des balises TEX. Les détails sont ici.

[Fløw]

Alors, j'arrive à ce niveau là :

Une fois arrivé là, j'avoue sécher totalement, que veux-tu dire par reste du modulo et regrouper les termes ?

[girdav]

Je crois qu'il y a une coquille : la somme va de jusqu'à l'infini.
On veut un truc de la forme (pour la série entière). On peut couper la somme en deux : pour les indices pairs et les indices impairs (licite car la série est absolument convergente.

[Fløw]

:hum:
Je développe, je sépare les termes paires et les termes impairs, mais j'avoue ne pas voir cette forme dont tu parles .... Je tourne en rond totalement :mur: :

[girdav]

En fait je ne sais pas si on pourra trouver une jolie formule pour (*), mais par exemple (je vais dire des âneries si on considère que c'est en rapport avec le problème en question) si est congru à modulo , si est congru à modulo , etc..

(*) quoique l'on peut "tricher", par exemple pour dire que l'on a si pair et si impair on peut écrire que .

[Ben314]

Ce que te dit Girdav, c'est uniquement que l'on peut écrire :

où lorsque ou et sinon.

[Fløw]

J'venais de saisir à l'instant...le temps de gratter sur papier et paf :) Merci beaucoup....Me manquait quelques nuances au niveau des congruences...ça manque de pas avoir fait spé maths de temps en temps ;) on oublie quelques notions. . . .Désolé pour les questions aux réponses triviales :o

MERCI :)