Integrale de sin^n + nouvelle question !!!

[Yaghi]

Salut tout le monde.

Voila l'énoncé :

U est la suite définie sur N* par :

Un = int(0 à pi/2) sin^n x dx


J'ai déja prouvé que
- Un>=0 sur N*
- U est decroissante
=> donc U est convergente.


Ensuite on introduit le réel a de ] 0 ; pi/2 [

J'ai donc prouvé par la relation de Chasles que :
Un = int( 0 à (pi/2)-a ) (sin^n) x dx + int( (pi/2)-a à pi/2 ) (sin^n) x dx


Jusque là rien de bien difficile.
La question suivante me pose problème :


En déduire que :
Un =< [ (pi/2)-a ] sin^n [ (pi/2)-a ] + a


J'espère que c'était assez clair (si vous me dites comment je peux ecrire Pi ou Int avec les signes ça serait plus clair).

Merci d'avance.

[nyafai]

salut
sur [0, (pi/2)-a] la fonction x->sin^n(x) est croissante (car sin est croissante sur [0,Pi/2] ) donc sin^n(x)<=sin^n(Pi/2-a). En intégrant ensuite des deux côtés entre 0 et Pi/2-a tu obtiens :
int( 0 à (pi/2)-a ) (sin^n) x dx <= (Pi/2-a)*sin^n(Pi/2-a) et tu as la première partie de l'inégalité. la deuxième partie se fait de manière analogue.

[mln]

Comme est croissante sur ,
avec

et tu arrives au résultat
pour savoir comment faire les formules cite les messages avec les formules comme le mien.

[Yaghi]

OK merci les gars je vais appliquer tout ça.

A+

[Yaghi]

Bon je demande votre aide mais cette fois ci dites moi juste si mon raisonnement est correct.

Enoncé :
La limite de Un est notée l
Démontrer que l =< a


Voila ce que j'ai fait : (bon on admet qu'à chaque fois la limite c'est n->+inf pour alléger tout)

lim Un =< lim [ (pi/2)-a ] sin^n [ (pi/2)-a ] + lim a


D'où si a->0 on a
lim Un - lim a =< pi/2

Et si a->pi/2 on a
lim Un - lim a =< 0


De là je déduis que :
l =< pi/2 + a
l =< a

Comme 0 < a < pi/2
on a donc l =< a

Ca me semble unpeu tiré par les cheveux comme raisonnement donc je préfère vous en faire part pour que vous me disiez ce que vous en pensez.

PS : l = 0 (on le montre après mais ça va ça)

[mln]

Dans la question précédente, tu as établi que


donc

Or
Donc
d'ou le résultat.
Bon courage pour la suite.