Aide compréhension notion noyau et image

[clem44]

Bonjour,j'aimerais savoir comment trouver le noyau et l'image de u dans une matrice(matrice 3*3) comme celle-ci :

2 2 0

-1 0 1

0 -2 -2

Merci a toutes personnes qui pourraient m'aider ou m'éclairer

[arnaud32]

le noyeau c'est l'ensemble de vecteur X= (x,y,z) qui verifient u*X=0
l'image de u c'est l'ensemble des u(X) pour X dans R^3

une petite idee peut etre de calculer le determinent de ta matrice.

[Nightmare]

Salut,

le noyau de u est défini comme l'ensemble des vecteurs X tels que MX=0 où M est ta matrice, autrement dit, en notant X=(x,y,z), X est dans le noyau de M si et ssi

Pour l'image de u, par définition, c'est Vect(C1,...,C3) où les Ci sont les colonnes de ta matrice. Pour en avoir une base, il suffit donc d'extraire de (C1,...,C3) la plus grande famille libre.

[clem44]

Merci je comprend mieux . Mais pour Dim Ker u , par rapport à quoi on peut dire que c'est égal à 1 ou autre ? Et on doit d'abord trouver Dim Ker U pour déterminer Dim Im u ensuite ?

[clem44]

Pour A X = 0 , on trouve une infinité de solution dans mon cas , comment déterminer Dim Ker U dans ce cas ?

[Ben314]

C'est pas
"on DOIT commencer par calculer dim(ker)...",
c'est
"Il est ASSEZ SOUVENT (mais pas toujours...) MALIN de commencer par calculer dim(Ker)..."
du fait que, assez souvent, Ker(u) est plus façile à calculer Im(u) et que, comme on sait que dim(Ker(u))+dim(Im(u))=dim(espace de départ) , connaitre l'une des deux dimensions donne automatiquement l'autre.

Pour déterminer dim(Ker(u)), il faut que tu montre que tout les éléments de Ker(u) sont de la forme
?V1+?V2+...+?Vd où les ? sont des réels et où V1, V2,...,Vd sont des fecteurs fixés et linéairement indépendants.
Tu en déduit immédiatement que la dimension est d (par définition de la dimension.

As toi d'arriver à écrire les éléments de Ker(u) sous une forme de ce type.

[Actéon]

Pour A X = 0 , on trouve une infinité de solution dans mon cas , comment déterminer Dim Ker U dans ce cas ?

C'est justement là l'exercice. Tu dois trouver, à l'aide des équations de Ker u, la dimension de Ker u (par exemple en trouvant une base de Ker u). Tu en déduiras la dimension de Im u avec le théorème du rang

D'ailleurs, on peut tres bien faire le contraire: on peut déterminer la dimension de Im (u) car c'est le rang de la matrice, qui est facile a determiner, puis en déduire dim Ker u...

En fait ca dépend d'où tu en es en cours. Mais je pense d'ailleurs que tu devrais le relire, car quand tu écris "dans mon cas je trouve une infinité de solutions a AX=0", cela montre que tu n'as pas encore tout bien assimilé. En effet un système AX=0 admet soit une seule solution (le vecteur nul), soit alors il y a une infinité de solutions, puisque c'est alors un espace vectoriel non réduit à 0