Réciproque de x + lnx (PCSI)

[Actéon]

Bonjour,

Je fais actuellement un exercice sur la fonction réciproque de x + ln (x)
Je noterai f(x) = x+ln(x) et g la réciproque cherchée

On ne peut pas expliciter g, juste l'étudier.
Le but de la dernière question est de montrer que g(x) - (x -lnx) tend vers 0, ce qui permet donc d'approximer en quelque sorte g(x) par x-lnx


J'ai déjà le tableau de variation de g (simplement grâce a celui de f)

J'ai déja montré que pour x>0, x-lnx ce qui permet de montrer que g(x)/x tend vers 1 au voisinage de +infini, entre autres.

On introduit maintenant h(x) = g(x)-(x-ln(x)). le but est donc de montrer que h(x) tend vers 0 en +infini

a) Montrer que h(x)/x tend vers 0 . Ok pas de problème avec l'encadrement du dessus

b) ensuite, dans l'énoncé: montrer que h(x) = -ln (1+ h(x)/x - ln(x)/x)
Je me demande s'il y a pas une erreur dans l'énoncé. Quand on part du membre deux droite on voit difficilement apparaitre h(x), on a l'impression de tourner en rond.
Dans tous les cas, erreur d'énoncé ou non, on doit pouvoir en effet montrer que h(x) tend vers 0

Je me demande si c'est pas en essayant de tourner autour de f(x) = x+ lnx, eventuellement l'écrire autrement, appliquer g de façon intéressante, isoler x, faire apparaitre exp(x)???etc j'ai essayé mais je tourne en rond.

Quelqu'un a une idée SVP (a priori sans équivalents ni autre développements limités, qu'on n'a pas encore vus ...)

Merci!

[Nightmare]

Salut,

Rappel : g(x)+ln(g(x))= x !

[Actéon]

oui c'est vrai bien sûr, merci!

Et donc: h(x)= g(x)-x+ln(x)=-ln(g(x))+ln(x)=-ln (g(x)/x)

g(x)/x tend vers 1 donc h(x) vers 0.


Mais d'ailleurs du coup je pense qu'écrire h(x) = -ln (1+ h(x)/x - ln(x)/x) n'apporte rien

Merci bien!

[JeanJ]

Je noterai f(x) = x+ln(x) et g la réciproque cherchée.
On ne peut pas expliciter g, juste l'étudier.

C'est vrai si on cherche à expliciter g avec une combinaison d'un nombre fini de fonctions élémentaires. Mais ce n'est pas vrai si on cherche à expliciter g avec une série infinie par exemple, ou formellement avec une fonction spéciale, la fonction W de Lambert :
g(x) = W(exp(x))
Cette remarque est évidemment d'aucune utilité pour répondre au problème tel qu'il est posé.

[Actéon]

C'est vrai si on cherche à expliciter g avec une combinaison d'un nombre fini de fonctions élémentaires. Mais ce n'est pas vrai si on cherche à expliciter g avec une série infinie par exemple, ou formellement avec une fonction spéciale, la fonction W de Lambert :
g(x) = W(exp(x))
Cette remarque est évidemment d'aucune utilité pour répondre au problème tel qu'il est posé.

merci pour ta remarque, à vrai dire j'ai hésité au moment d'écrire "on ne peut pas expliciter g", en fait ce que je voulais dire c'était "on ne peut pas expliciter g simplement", ou "on ne cherche pas à expliciter g", c'était en effet un peu rapide de dire "on ne peut pas expliciter g", car c'est pas parce que moi je ne le pouvais pas que c'était une vérité universelle j'y avais pensé c'est drôle