3 exos sur des suites et nombre complexe

[Christel54]

Bonjour, je m'y prends tard car c'est pour demain après midi mais bon voilà j'ai 3 exercices et je n'y arrive pas si quelqu'un peut m'aider à les comprendre et les faire en entier ça m'aiderais beaucoup, les voilà :)

Exo 1 :
soit a un réel non nul, on considère la suite (Un) définie pour tout n entier naturel non nul par :
Un = 1/a + 2/a² + 3/a^3 + n-2/a^n-2 + n-1/a^n-1 + n/a^n.

1. Si a=1 simplifier Un
Désormais a est différent de 1, soit f définie sur R par :
f(x)= x/a + x²/a² + x^3/a^3 +...+ x^n/a^n.
2. Montrer que pour tout entier naturel n un = f'(1)
3. a. Montrer que pour tout x différent de a, f(x) = (1/a^n)*(((a^n)*x-(x^n+1))/(a-x)
b. Déterminer une nouvelle expression de f'(x)
c. déduire l'expression simplifiée de Un.

Exo 2 :

Soit la suite définie par U0 = 1 et Un+1 = racine carrée de (Un+2) pour tout entier naturel n.
soit la fonction f définie sur l'intervalle I [-2;+infini[ par f(x) = racine de (x+2).
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un > 0.
2. Montrer que pour tout x et pour tout y de [0;+infini[ , norme de f(x)-f(y)< ou = à (1/ 2 racine carée de 2)* norme de x-y
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, norme de Un+1-Un< ou = à (1/2 racine carrée de 2)^n *(racine carrée de 3 +(-1))
4. En déduire la valeur de lim de norme de Un+1-Un lorsque n =>+infini


Exo 3 :
f est la fonction de C dans C définie par : f(z) = 1/6((3+4i)z+5(z barre)
a. exprimer à l'aide de z et de z barre le nombre complexe Z = f(z)-z / 1+2i
b. En déduire que Z est un nombre réel.

J'attends vos réponses impatiemment et merci d'avance :)

[Sylviel]

Salut : oui tu t'y prends tard, et non on ne va pas te donner les solutions, juste des indications.
Et là on a l'impression que tu n'as vraiment pas cherché...


1.1 : tu as essayé ?
1.2 : Soit n un entier. Calcule f'(1)
1.3 a: Mets tout au même dénominateur et cherche à reconnaître une somme de suite géométrique je pense
1.3 b : tu peux la faire même si tu n'as pas fait la précédente


2.1 : as-tu essayé ?
2.2 : écris f(x)-f(y) en terme de racines, et essaie de voir ce que tu peux en faire
2.3 : tu peux la faire en admettant la question précédente si tu n'y ai pas arrivé
2.4 : tu peux la faire en admettant la question précédente, et elle est très simple !

3.1 : as-tu essayé ?
3.2 une caractérisation des nombres réels : ce sont les complexes z tels que z = ...

[Christel54]

J'ai l'impression d'avoir faux c'est pour ça que je voulais la réponse d'autres personnes mais oui ça fait 6 heures que je suis dessus...
Pour la 1. Un = 1+2+3+n-2+n-1+n non ?
2. f'1 =1+2+3+n-1 mais je ne sais pas quoi faire pour prouver exactement que c'est égal à Un
3.a je viens d'essayer par rapport à ce que tu as dis mais je suis nulle avec ça.. pour le moment j'obtiens (a-x/a^n*a-a^n*x)*(a^n²*x-x^n+1*a^n/a*a^n-a^n*x) je pense avoir faux....
3.b j'avais obtenu f'(x) = nx...

[Sylviel]

Les gens qui répondent ici sont pour la plupart très largement capable de faire les exos (profs, ingénieurs, élèves de fac, ou élèves doués) Ils n'ont rien à prouver. Si tu veux de l'aide il faut que tu montres ce que tu as fait, et où tu bloques. On te diras si oui ou non c'est juste et te donneras des indications si nécessaires...

Oui pour la 1. Par contre cela se simplifie (somme de termes d'une suite arithmétique).

2 : où sont les a ? et la démonstration se fait très simplement, la rédaction est un peu compliquée car il est difficile d'expliquer l'évidence...

3a : détaille tes calculs (en latex ce serait mieux) pour voir comment tu t'y prends...

Courage !

[Christel54]

Pour l'exo 2
1. je peux le faire avec mon cours^^
2. je ne vois pas d'où le f(y) sors, si tu peux m'expliquer...
3. et 4. tu as beau dire que c'est simple je ne vois pas par où passer... j'avais trouvé pour limite 1 (mais je ne suis pas bonne sur beaucoup de leçons de cette année...)

pour l'exo 3
1. j'ai essayé de passer en développant f(z) mais pour z et z barre est ce que je dois prendre x+iy et x-iy ?
pour la 2 soit je prouve que IM(z) =0 soit que z=z barre non ?

merci de tes réponses

[Christel54]

je pensais que puisque les a sont des nombres ils disparaissaient lors de la dérivée... comment je fais : 1/a+2/a²+3/a^3.....?

[Sylviel]

les constantes additives disparaissent, pas les multiplicatives !

f(y) c'est comme f(x) où tu remplaces x par y ^^, et il vient de l'énoncé :zen: ... La question n'est pas évidente mais cela n'a rien d'extraordinaire non plus :-)

Quel est ton point de départ ?
Quelle est ton hypothèse de récurrence ?
Que veux tu démontrer ?
Que te dis la question juste avant ? Comment faire le lien ?

A partir de la 3 la 4 est vraiment triviale...

[Christel54]

bon je reviens à l'exercice 1
1.1 j'obtiens donc n(n+1)/ 2 ?
1.2 j'obtiens 1/a+2/a²+... (je remplace juste les x alors ?)
1.3.a pourquoi mettre au même dénominateur puisque qu'on a une multiplication ? dis moi si j'ai faux de penser comme ca mais j'obtiens (a^n*x-x^n+1)/(a^n*a-a^n*x) car je n'arrive pas à passer pas le même dénominateur....
b. j'obtiens f'(x)= (n-1*a)*x-n*x/a-x ?

[Christel54]

s'il vous plait quelqu'un peut il m'aider je ne comprends toujours pas pour mon exo 1 et l'exo 3 je ne vois pas ce que je dois faire.... merci