Convergence d'une suite

[Alvarvs]

Hello,

J'hésite quand à la procédure à suivre pour résoudre l'énoncé suivant, j'aimerais seulement savoir si je suis sur la bonne piste avant de m'avanturer plus loin.

Soit la suite x(n), consistant à inscire à la suite le nombre de chiffres impairs, le nombre de chiffres pairs suivi du nombre de chiffre total du nombre x. Par exemple pour n = 58792, x(n)=325, x²(n)=213, x³(n)=213, ...
L'on doit prouver que pour tout nombre cette suite converge vers 213. Est-il possible de réaliser une démonstration purement mathématique? Je pensais dans un premier temps partir de 213 et prouver qu'en appliquant la ''suite réciproque'' l'on peut trouver tous les nombres -> pour tous nombres la suite converge vers 213? Est-ce une bonne méthode?

[arnaud32]

si tu prends x dans N
tu notes n le nombre de chiffre de x (en base 10)
le premier terme de la suite est de la forme 100*k+10*(n-k)+n kdonc pour le suivant c'est inevitablement 123 ou 213.
le suivant de 213 est 213
le suivant de 123 est 213
et c'est fini.

[Harchy]

Salut

Le terme ''suite réciproque'' semble très aventureux !
Tu sembles penser à faire une étude de cas pour monter que l'image de tous nombre est 213, c'est une bonne idée.

Je n'aurais pas utilisé la notation littérale de arnaud mais elle est sympa.

Attention à bien étudier tous les cas.
x(3333333333)=10010 et x(2222)=44

[Alvarvs]

Merci pour vos réponses rapides. Je ne comprends pas cependant la méthode d'arnaud.Pourquoi le premier terme de la suite a-t-il trois chiffres? Pour moi le premier terme a un nombre illimité de chiffre. Ensuite pour x(11133355599)=11011. En appliquant la méthode que tu proposes : 11*100+0*10+11, l'on obtient 1111. Pourrais-tu éclaircir?

Merci

[arnaud32]

j'ai effectivement fait un "petit racourci".
tu peux montrer cependant que le Log base 10 de ta suite est decroissant jusqu'a 3.
et une fois que tu as ca conclure comme je te l'ai explique.

de facon plus formelle tu prouves que
0) x(213)=213
1) si le nombre de depart a 3 chiffres, ta suite converge en au plus 2 coups
2) si le nombre de depart a moins de 3 chiffres, le suivant en a 3 (attention 0 est un chiffre, meme en tete de nombre entre autre x(2222)=044 et non 44 sont suivant est alors 033 puis 213)
3) si le nombre de depart a entre 3 et 9 chiffres le suivant en a 3
4) si le nombre de depart a plus de 9 chiffres tu etudies la suite definie par = nombre de chiffres de x et ou [x]=partie entiere de x.
cette suite represente un majorant du nombre de chiffres du n eme terme de ta suite.
tu peux prouver qu'elle est decroissante et passe sous les 9 a partir d'un certain rang.

[Alvarvs]

N'y a-t-il pas une méthode plus pratique que l'emploi du logarithme? J'ai essayé avec un nombre de 110 chiffres dont 100 sont impairs et 10 pairs, x(n)=10010110, soit 8 chiffres. Or 2[log n ]+3 = 7. Est-ce bien normal?

[Ben314]

Je pense qu'il y a une petite erreur calculatoire dans la formule de Arnaud (par contre le principe est évidement bon) :
Tu part d'un nombre de Un chiffres : le nombre de chiffres pair/impairs/total n'exède pas Un, ils s'écrivent donc tous les trois avec moins de 1+[log(Un)] chiffres (où [.] est la partie entière) donc
U(n+1)=<3(1+[log(Un)])
Dans ton exemple, Un=110, 1+[log(Un)]=3 donc U(n+1)=<9 (en fait ça vaut 8)

[arnaud32]

N'y a-t-il pas une méthode plus pratique que l'emploi du logarithme? J'ai essayé avec un nombre de 110 chiffres dont 100 sont impairs et 10 pairs, x(n)=10010110, soit 8 chiffres. Or 2[log n ]+3 = 7. Est-ce bien normal?

oui tu as raison remplaces 2([log n ]+1)+3= 3([log n ]+1)

l'idee c'est que si tu as alors
donc et p+1 est le nombre de chiffres de n (et non p comme je te l'avais ecris avant)
tu as donc p chiffres et tu peux majorer le nombre de chiffres de x(n) par 3*(p+1)

[Alvarvs]

Merci pour votre aide, je pense avoir compris cette fois! Je ne sais pas comment il était possible de trouver ca en lisant l'énoncé (l'expérience?)!
Une dernière petite question, le nombre de termes de x(n) vaut au plus 3 fois le nombre de terme de p+1, soit 3*([log(p+1)]+1). Or p+1=[log n]+1. D'où x(n)<=3*([log ([log n]+1)]+1), non?

[arnaud32]

c'est plutot 3*(p+1)=3*([Log(n)]+1)

[Alvarvs]

Quand j'essaie avec n=6531762, p+1=7. Le nombre de chiffre d'x(n) sera <= 3. Or avec la formule : <=3*(log[ 6531762]+1)<=18 Non?

[Ben314]

Quand j'essaie avec n=6531762, p+1=7. Le nombre de chiffre d'x(n) sera <= 3. Or avec la formule : <=3*(log[ 6531762]+1)<=18 Non?

Non, vu les notations employées, il faut calculer 3*([log(?)]+1) où ? est le nombre de chiffres du nombre de départ donc, si n=6531762, alors ?=7 et [log(?)]=0
Attention aussi à le pas confondre [log(?)] avec log[?]...

[Alvarvs]

Dernière petite choses. Vous me dites que le nombre de chiffres de x(n) est <=3*([log(?)]+1) où ? est le nombre de chiffres du nombre de départ. Or le nombre de chiffres du nombre de départ est donné par [log(n)]+1. Si l'on remplace ? par cette dernière expression n'as-ton pas: x(n)<=3*([log ([log n]+1)]+1) (comme demandé ci-dessus)?