TS: Demonstration cos(x) + x strictement croissante

[boeufnaz]

Bonjour,
Je suis actuellement sur un DM de TS où on me pose une question:
Soit f une fonction dérivable et strictement monotone sur [o;+oo[
Est il possible que f' s'annule plusieurs fois sur cet intervalle?
A mon avis, cela est possible: Soit la fonction f(x)=cos(x) + x
Cette fonction admet plusieurs tangentes horizontales, et semble strictement croissante puisque sa dérivée (-sin(x) +1) n'atteint 0 que ponctuellement.
Comment prouver que cos(x)+x est strictement croissante?
merci de votre aide

[le_fabien]

Bonjour ,

ici http://maths1s.chez.com/1S/derivation.pdf , va voir à la page 7. :zen:

[boeufnaz]

"si f'>0 sur I, alors f est croissante sur un nombre fini de points"
Merci pour l'aide, je ne connaissait pas ce théoreme.

[le_fabien]

"si f'>0 sur I, alors f est croissante sur un nombre fini de points"
Merci pour l'aide, je ne connaissait pas ce théoreme.

Oh !! Ce n'est pas ce qui est écrit !!

[Le Chaton]

Oh !! Ce n'est pas ce qui est écrit !!

:ptdr: je crois qu'il a pas tout compris

[boeufnaz]

si f'>0 sauf pour un nombre fini de points. j'avais compris mais mal recopié. par contre, comme mon étude porte sur [o;+oo[, le nombre de points tels que f'=0 est infini... puisque -sinx +1 touche l'axe des abscisses une infinité de fois, mais a chaque fois en un seul point...

[Sve@r]

Comment prouver que cos(x)+x est strictement croissante?

parce que sa dérivée n'est jamais négative...

[Nightmare]

Hello,

si f' > 0 et s'annule pour un nombre dénombrable de point, la monotonie est stricte. En fait, même si f' s'annulait en tout les irrationnels, f serait encore de monotonie stricte. La condition nécessaire et suffisante est que f' s'annule sur un ensemble qui ne contient pas d'intervalle ( = d'intérieur vide)

[le_fabien]

Bonjour ,
je pense que boeufnaz a juste une petite difficulté avec " dénombrable " .

Une définition :

Dire qu'un ensemble E est dénombrable signifie qu'il est possible de compter un à un chacun de ses éléments, et de leur attribuer un rang : on peut numéroter les éléments de E sans omission ni répétition, en utilisant tous les entiers naturels.

Si cela peut l'aider :zen:

[boeufnaz]

Bonjour,
Oui, c'est ce qu'il me manquait pour que la démonstration soit rigoureuse.
Merci

[Ben314]

Salut,
Niveau Lycée, je sais pas si c'est pas un peu "un buldozer pour écraser les mouches" que d'utiliser la notion de dénombrabilité pour un résultat comme celui qui t'interesse.
Tu doit pouvoir t'en sortir avec les "basiques" du Lycée :
- Si f>=0 sur un intervalle I alors f est croissante sur I.
- Si f>0 sur un intervalle I alors f est strictement croissante sur I.

Par exemple, concernant ta fonction, si on prend deux réels a1) f>=0 sur [a,b] donc f(a)<=f(b).
2) f>0 sur [b,b'] donc f(b)3) f>=0 sur [b',a'] donc f(b')<=f(a').
donc f(a)
(en fait, c'est une des méthodes simple pour montrer que, si f'>=0 sur un intervalle I et que f' ne s'anulle qu'un nombre fini de fois sur I alors f est strictement croissante sur I)

[boeufnaz]

sauf que mon intervalle I, c'est [0;+oo[.. comme il est infini, il faudrait le diviser en une infinité d'intervalles finis dans lesquels f'(x) ne s'annule qu'un nombre fini de fois..

[Ben314]

sauf que mon intervalle I, c'est [0;+oo[.. comme il est infini, il faudrait le diviser en une infinité d'intervalles finis dans lesquels f'(x) ne s'annule qu'un nombre fini de fois..

As tu réellement lu la preuve que je t'ai écrite ? (et pas seulement la remarque entre parenthèse que j'ai mis à la fin)
Si oui, ou est il question dans cette preuve de "nombre fini de points où f' s'annule" ?

[boeufnaz]

Bonjour,
J'en ai parlé aujourd'hui avec mon prof de maths qui m'a répondu qu'un dessin suffisait pour justifier, ajoutant que je cherchais la petite bete...
:mur:
en tout cas merci pour votre aide

[Nightmare]

Pas terrible la réponse de ton prof...