Dénombrement

[MacErmite]

bonjour,

Je ne comprends comment on détermine le dans divers exercices de ce genre là :

Dans une classe de 30 élèves quelle est la probabilité de l'événement : "2 éléves au moins sont nès le même jour" que l'on note A.

Pourquoi le Je pensais à ??

Pouvez-vous m'expliquer ?

Merci

[Nightmare]

Hello,

a chaque élève on associe sa date d'anniversaire, il y a autant de possibilités que d'applications de {1,...30} dans {1,...,365} soit bien 365^30.

[MacErmite]

Je fais un blocage .... :marteau:

Lorsque le problème tourne autour de deux dès, je comprends que et donc que car je peux obtenir lorsque je jette les deux dès un (1,2) (2,1) (1,3) (3,1) ...

[Nightmare]

Ce n'est pas bien compliqué, on peut représenter la classe par un 30-uplet (... , .... , ..........., .... ) où à la i-ème case se trouve la date d'anniversaire du i-ème élève. A chaque case on a 365 possibilités, comme on a 30 cases, on a bien 365^30 possiblités.

[MacErmite]

élève 1 : 1,2,3,4,..., 365
élève 2 : 1,2,3,4,..., 365
élève 3 : 1,2,3,4,..., 365
élève 4 : 1,2,3,4,..., 365
élève 5 : 1,2,3,4,..., 365
élève 6 : 1,2,3,4,..., 365
élève 7 : 1,2,3,4,..., 365
.
.
.
élève 30 : 1,2,3,4,..., 365

Je trouve qu'il y a un total de 365*30 jours :mur:
Ou alors le n'est pas le nombres de jours total :doh: , mais autre chose

[Nightmare]

Oula, là c'est moi qui ne comprends plus. Fixons les choses déjà, c'est quoi ton univers des possibles?

[Nightmare]

Fais le test avec 2 élèves au lieu de 30.

Soit le premier est né le 1/01 et le deuxième aussi
Soit le premier est né le 1/01 et le deuxième le 2/01
Soit le premier est né le 1/01 et le deuxième le 3/01
etc...
Soit le premier est né le 1/01 et le deuxième le 31/12

Ce qui nous fait déjà 365 possibilités

Soit le premier est né le 2/01 et le deuxième le 1/01
Soit le premier est né le 2/01 et le deuxième aussi
etc...
Soit le premier est né le 2/01 et le deuxième le 31/12

Encore 365 possibilités

Soit le premier est né le 3/01 et le deuxième le 1/01 etc..

une fois la date de naissance du premier fixé, on a 365 possibilités pour la date de naissance du deuxième, donc on a bien 365*365 = 365² possibilités.

Même raisonnement si on a 30 élèves.

[MacErmite]

l'univers des possibles est le même pour tous les éléves : {1,2,3,4,...,365} Ce sont les 365 jours de l'année.

[Nightmare]

Non, ce n'est pas ça, l'univers des possibles est l'ensemble de tous les évènements réalisables et ici, un évènement est "l'elève i est né le j-ème jour de l'année" et on a bien 365^30 possibilité.

[Epo]

Je ne sais pas si je peux t'éclairer mais :

Au première élève tu as 365 possibilités
Au deuxième élève tu as 365 possibilités

Soit 365² combinaison possible d'accord ? ( comme deux dès d'abord 6 puis 6 soit 6² et non 6*2 )

Bon bha tu continus comme ça pour 30 élèves soit 365^30 et non 365 * 30 ( car là ça serait 365 possibilité + 365 possibilité or c'est * ( en effet si le premier élève est né le 1 le second peut être né entre le 1 et le 365 soit 365 possibilité mais le premier élève peut être né le 2 le 3 ... soit 365² )

Ainsi tu obtiens bien 365^365

J'espère avoir pu t'éclairer ;)

[MacErmite]

Je crois comprendre la démarche à suivre. Il est claire que je n'avais pas du tout compris ce que représente l'univers dans ce contexte...

Merci

[nodjim]

En fait, il faut réfléchir à la proposition inverse: aucun élève dans la classe n'est né le même jour. Quelle est cette probabilité ?

[flight]

..pour cette question si aucun eleve est né le meme jour et si p est le nbr d'eleves

alors P=365.364.363......(365-p+1)/365^p

[flight]

calcul du cas ou 2 eleves ont leur anniversaire le meme jour

si on prend p élèves (e1,e2,......ep) et une année de 365j (j1,j2,......j365)

si e1 et e2 ont leur anniversaire le jour j1 alors tout les autres doivent avoir des jours anniversaires differents , comme ils sont (p-2) eleves il leur reste 364.363.362......(364-(p-2)+1)

si à présent e1 et e2 ont leur anniversaire le jour j2 , on reprend le meme raisonnement que precedement on trouve le meme resultat , si on reitère le procedé à 365j

on trouve 365.(364.363......(364-(p-2)+1)) facons rien que pour les deux eleves e1 et e2.

comme il y a Cp,2=p!/2!(p-2)! facons de choisir deux eleves alors le nbr de cas favorable est

N=Cp,2.365.(364.363......(364-(p-2)+1))

pour le cardinal de l'univers , cad tout les cas possibles , il est permi à chaque eleve d'avoir son jour de naissance à n'importe quel jour de l'année , ce qui fait 365 possibilités par eleves , soit pour p eleves 365.365.365....365 ( p fois ) soit donc 365^p

[buzard]

Je fais un blocage .... :marteau:

Lorsque le problème tourne autour de deux dès, je comprends que et donc que car je peux obtenir lorsque je jette les deux dès un (1,2) (2,1) (1,3) (3,1) ...

Là il suffit de généraliser, c'est comme si tu jetais 30 dés à 365 faces. L'ensemble des valeurs que peut prendre cet évènement aléatoire, s'appelle l'univers des possibles.