Exo sur les coniques (paraboles)

[jerrypeeren]

Bonjour à tous,

Je suis actuellement à l'université, et j'ai là un devoir pour vendredi que je n'arrive pas à résoudre...
L'exercice concerne les coniques, et plus précisément les paraboles.

Voici l'énoncé :
On se rapporte à un repère orthonormé d'origine notée O, le sole étant symbolisé par l'axe X et la verticale par Y. Dans ce repère, le mouvement d'un projectile lancé de l'origine avec une vitesse initiale de composantes ( ) est donnée en fonction du temps par



où g désigne l'accélération due à la gravité terrestre.

a) Montrer que la trajectoire du projectile est une parabole.
b) Si la norme de la vitesse initiale vaut 20 m/s et si l'angle de tir vaut 60°, quelle est la hauteur maximale atteinte par le projectile (on suppose g = 10m/s²) ? Pourquoi ?
c) Quelle est l'expression de la distance horizontale parcourue (portée) par le projectile lorsqu'il retombe sur le sol ? Pourquoi ?
d) Représenter graphiquement les divers éléments de ce problème.
e) Quel angle de tir doit-on prendre pour que la distance dont il est question au point c) soit maximale (en prenant une norme de la vitesse fixe) ?


En fait, je ne vois pas trop quoi faire avec les équations de départ...
Quelqu'un aurait-il l'amabilité de me donner un ptit coup de main ?

Merci d'avance,
Jerrypeeren

[Ericovitchi]

Ce sont des équations paramétriques. si tu élimines le paramètre (en faisant t=.. dans la première et en remplaçant dans la seconde) tu vas mieux la reconnaître ta parabole.

[jerrypeeren]

C'est une chose que j'avais déjà essayé.

Cela me donnerait donc :



Et donc



Juste ?

Et après...

[Ericovitchi]

Après rien de spécial, à part que c’est bien une parabole parce que c'est de la forme y=ax²+bx+c

[jerrypeeren]

Ah ok
En effet..., je pensais qu'il fallait encore simplifier tout le bazar pour en arriver à une équation du style

Mais c'est vrai, maintenant que tu les dis, je vois bien qu'on a la une équation du second degré, donc une parabole.

Reste le b), le c) et le e).

Pour le b), je sais que le sommet de la parabole a pour coordonnées
Cependant, on parle d'un angle de 60° dans l'énoncé, et je ne sais pas trop comment le faire intervenir la dedans...

Merci beaucoup en tout cas !

EDIT : Pour le b), je pense avoir trouvé. Vive la trigono :p
Par contre, le c) et le e), je sèche...

[jerrypeeren]

Ptit up :)

[Ben314]

Salut,
Il y a une petite faute de frappe dans ton énoncé :
La vitesse initiale a pour composantes ( ).

ce qui signifie que, dans le b), tu as et (en supposant que "l'angle de tir" est l'angle avec l'horizontale, ce dont je ne suis pas sûr vu mes connaissance militaires...)

Pour le c), dire qu'il "retombe sur le sol" veut dire y=0 (et t non nul).
Tu en déduit que t=... puis que x=... (en fonction de v1 et de v2)

Pour le e) tu écrit que et où v est fixé mais est à determiner et tu reporte dans le 'x' que tu as trouvé au c).
Tu étudie cette fonction de pour en déterminer le maximum (le résultat est... trés intuitif)

[jerrypeeren]

En effet, c'est v, et non x dans l'énoncé. J'ai corrigé le premier post. Merci, je n'avais pas vu

Et en effet, et valent bien ce que tu as écrit. J'avais oublié de mentionner que l'angle était bien avec l'horizontale...

Par contre, je ne comprends pas bien ce que tu veux dire pour le point c)...

Je suis d'accord pour dire que quand le projectile retombe sur le sol, y vaut 0.
Mais je ne vois pas comment en déduire t, puis x...

[Ericovitchi]

tu peux le faire directement, tu prends l'équation de ta parabole et tu regardes quand est-ce qu'elle s'annule.

[jerrypeeren]

Ah, d'accord...

Je vais calculer ça alors, et je vais voir si ce que je trouve est cohérent.

Je vous tiens au courant.

Merci !

[jerrypeeren]

Alors voilà, c'est calculé.

J'ai 0, ce qui est logique, vu que le projectile part de l'origine.
Et j'ai comme deuxième zéro. Ce qui me semble cohérent aussi.

Donc, l'expression de la distance horizontale parcourue sera ?

Est-ce correct tout ça ?

[Ben314]

Ben....
Ca serait correct si on faisait la même hypothèse "la norme de la vitesse initiale vaut 20 m/s et l'angle de tir vaut 60°" dans la question c) que dans la question b).

Sauf que, à mon avis, vu la question d), ben on ne fait plus cette hypothèse donc je le (re)dit (je l'avais déjà écrit dans mon précédent post) : ta "portée" doit être une quantité qui dépend de v1 et V2.

Remarque : la méthode que je te suggérais d'employer consiste simplement à écrire que :
y=0 <=> v2.t-(g/2)t^2=0 <=> t=... (avec t non nul) <=> x=v1.t=...
ce qui ne me semblais pas "le bout du monde" !!!!!)

[jerrypeeren]

D'accord, je vois mieux où tu voulais en venir.

Excuse-moi, mais je me suis retrouvé à l'université pour des raisons qui ne dépendaient pas de moi, et ce, seulement il y a quelques semaines. Je n'ai donc pas suivi les cours depuis le début, et j'essaye tant bien que mal de me remettre à jour. Ce n'est pas facile...

Je devrais arriver à faire la fin maintenant.

Merci pour tout en tous les cas !

EDIT : Angle "idéal" pour avoir une portée maximale : 45° :)

Merci pour tout !