Trouver les conditions

[Ericovitchi]

hé, les balaises, venez plancher sur ce problème qui est apparu dans le fil des questions et que je trouve intéressant mais je n'ai pas encore trouvé le fin mot de l'histoire : http://www.maths-forum.com/nombres-complexes-conditions-111988.php

la question est : -->Trouver les conditions auxquelles doivent satisfaire les complexes a et b pour que les nombres X,Y et Z suivants soient tous réels:
X=(a+b)/(1+ab) Y=i*[(a-b)/(1+ab)] Z=(1-ab)/(1+ab)

j'ai déjà découvert que X²+Y²+Z²=1 ce qui m'a fait penser que le type qui a inventer ce truc devait travailler sur des transformations de la sphère genre stéréographie.
Notez aussi que X+iY=2b/(1+ab) et X-iY=2a/(1+ab) et que l'on trouve assez vite que ab doit être réel.
Mais comment conclure et faire le tour de la question ?

[Matt_01]

En fait non, en écrivant , et , on obtient assez directement avec la 3ème que ab est réel, puis en intégrant dans les deux autres équations, on obtient aussi assez vite (un petit système) que , qui répond bien aux demandes de l'énoncé.

[Doraki]

si ab doit être réel, on trouve aussi que (a+b) et i(a-b) doivent être réels.

Donc , et soit
en additionnant on trouve que .

[Ericovitchi]

Bon d'accord. merci. Je pensais qu'il devait y avoir une logique cachée derrière ces formules, mais bon, tant pis.

[liolio]

Bon,et bien merci en tout cas :lol3: