Nombres complexes,conditions

[liolio]

Bonjour,j'ai un exo à faire sur lequel je bloque...Je ne trouve vraiment pas comment trouver les conditions...Voici l'énoncé,merci d'avance pour une éventuelle aide car je déteste bloquer comme ça...:(


-->Trouver les conditions auxquelles doivent satisfaire les complexes a et b pour que les nombres X,Y et Z suivants soient tous réels:
X=(a+b)/(1+ab) Y=i*[(a-b)/(1+ab)] Z=(1-ab)/(1+ab)

[liolio]

Je tente un petit up de désespoir...:(

[Ericovitchi]

Effectivement ça n'est pas évident.
Je te donne les pistes que j'ai trouvé jusqu'à maintenant.
Il faut remarquer que X²+Y²+Z²=1
et former X+iY=2b/(1+ab) et X-iY=2a/(1+ab)
j'ai posé r=1+ab
Avec les formules a=r(X-iY)/2 et b=r(X+iY)/2 si on écrit que r=1+ab=1-r²(X²+Y²)/4 et que l'on résout cette équation du second degré en r (qui a un discriminant qui vaut 1) on trouve que r s'exprime en fonction de X,Y,Z et que donc il est réel aussi, et donc ab doit être réel.

(mais ça ne suffit pas, il y a d'autres conditions)

[liolio]

Ok merci je vais regarder tout ça :)

[liolio]

Effectivement ça n'est pas évident.
Je te donne les pistes que j'ai trouvé jusqu'à maintenant.
Il faut remarquer que X²+Y²+Z²=1
et former X+iY=2b/(1+ab) et X-iY=2a/(1+ab)
j'ai posé r=1+ab
Avec les formules a=r(X-iY)/2 et b=r(X+iY)/2 si on écrit que r=1+ab=1-r²(X²+Y²)/4 et que l'on résout cette équation du second degré en r (qui a un discriminant qui vaut 1) on trouve que r s'exprime en fonction de X,Y,Z et que donc il est réel aussi, et donc ab doit être réel.

(mais ça ne suffit pas, il y a d'autres conditions)

Bon je vais être franc,je ne comprend absolument pas...Pourquoi déjà montrer que X²+Y²+Z²=1?

[liolio]

Je retente un Up... :help:

[Ericovitchi]

X²+Y²+Z²=1 est très important. ça montre que le type qui a fabriqué cet exercice était en tain de s'occuper de tout à fait autre chose. Il était en train d'étudier des transformations de la sphère donc par exemple des projections stéréographiques et puis il est tombé sur ces équations de transformation.
On est devant des sortes d'équations paramétriques de la sphère en fait.

Tant que l'on a pas démonté le cheminement qu'il a parcouru pour tomber sur ces équations, on ne pourra pas trouver de solution élégante à ce problème.

Je n'ai pas eu le temps de creuser véritablement la question. Je suis sûr que mes collègues de ce site s'ils tombent sur ce post auront à coeur de finir de percer le mystère. On ne doit pas être très loin. Il faut que je remette la main sur les transformations stéréographiques de la sphère sur le plan. C'est quelque chose comme ça.

On devrait reposter tout ça dans les défis parce que c'es une question assez intéressante qu'il est dommage de noyer dans le flot des problèmes banals.
Voilà, j'ai recréé ton post dans les défis : http://www.maths-forum.com/showthread.php?p=729926#post729926 donc normalement on devrait trouver du renfort.