Les nombres complexes

[M2aa]

Bonsoir, comme le sujet l'indique j'ai un exercice à faire sur les nombres complexes, j'ai répondu à quelques questions, mais il y en a 3-4 sur lesquelles je bloque, c'est pourquoi je viens vous demander votre aide ....

Voici l'énoncé accompagné des réponses :

On noteA le point d'affixe -1 et f l'application qui, à tout point M du plan, d'affixe z, distinct de A, associe le point M' d'affixe z' telle que :

z' = (2z-1-i) / (z+1)

1. Soit B le point d'affixe 2-i. Déterminer l'affixe, sous forme algébrique, de l'image B' de B par f.
J'ai trouvé B'= (6-3i)/5
2. De même pour C' avec C d'affixe i.
J'ai trouvé C'=i
3. a) Développer (z-i)(z-1+1)
J'ai trouvé : z²-z+i+1

b) En déduire les points invariants par f. Je ne comprends pas cette question, que sont des invariants ?

4. On pose z= x+iy où x et y sont des réels
a) Déterminer en fonction des réels x et y, la partie réelle et la partie imaginaire de z'.
J'ai trouvé : (2x²+x+2y²-y-1)/ (x²+2x+y²+1) + i((x+3y+1)/(x²+2x+y²+1))
b) Caractériser l'ensemble des points M d'affixe z, tels que z' est réel. (Je ne sais pas comment faire)
c) Caractériser l'ensemble des points M d'affixe z, tels que z' est imaginaire pur ( De même).

5.a) Calculer z'-2.
J'ai trouvé (-3-i)/(z+1)
b) En déduire que |z'-2|. |z+1| =V10
J'ai bien trouvé V10
c) Montrer que si M est sur le cercle de centre A et de rayon 1, alors M' est sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

Je n'ai pas réussi cette question également.

Voilà je vous remrcie par avance pour votre aide ...
Bonne soirée, M2aa.

[Alp]

Je n’ai pas fait les calculs, je ne peux donc pas confirmer ou infirmer tes résultats.

3. b) Les points invariants sont tous les points M tels que M et M’ soient confondus (en clair, ceux dont l’affixe de l’antécédent est égale à l’affixe de l’image par ).

4. b) À quelle condition un nombre complexe est-il réel ? Quelle équation obtiens-tu ? Comment peux-tu l’interpréter (à quoi te fait-elle penser ?) ?
c) Idem que b) (mais plus direct).

[Arnaud-29-31]

Salut Marianne,

Je suis d'accord pour les premières questions,
Pour la 3)b), trouver les points invariants revient à résoudre f(z) = z ... ca te donne quoi comme équation ?

Avant d'attaquer la question 4, j'ai l'impression qu'il y a un petit problème pour la partie imaginaire de z' (après c'est peut-être moi qui me trompe) ... je suis d'accord avec la partie réelle.