[MP] Convergence d'une suite

[euler21]

Bonjour
Dans un exercice on se donne une suite de réels strictement positifs, tendant vers 0 en décroissant. On suppose que la suite est bornée et on doit prouver que la série de terme général converge.
Je sèche sur la question et je vous donne les résultats auxquels je suis arrivé.
En posant , on a immédiatement est suite positive et croissante. Comme elle est bornée, alors elle est convergente.
J'ai ensuite supposé que la série de terme général diverge. On alors nécessairement et puis
Après je ne sais pas comment trouver une contradiction. Des pistes seront les bienvenus pour avancer dans cet exercice. Merci d'avance pour vos réponses.

[dibeteriou]

On pose .

Par hypothèse :
donc
donc a une limite .

Il reste deux lignes à écrire... (mais j'ai mis deux heures à le voir !)

[euler21]

donc a une limite .

donc normalement diverge ce qui n'est pas le cas ...

[Ben314]

donc normalement diverge ce qui n'est pas le cas ...

NON, tu ne peut en déduire que Sn diverge que si L est non nul.

[Matt_01]

Mais on peut tout de même traiter correctement le cas .
Personnellement je considèrerais qui est alors un

[euler21]

A vrai dire je ne sais pas comment avancer avec ce dernier résultat

[Matt_01]

On se place dans le cas .
On a
Or est à termes positifs. Donc .
On rédige de même pour et au final on obtient ce qu'on veut.

[euler21]

Or est à termes positifs. Donc .

On obtient donc ce qui est déjà dans les hypothèses que an tend vers 0.
A part si je rate quelque chose ..

[Matt_01]

Oulala autant pour moi, j'ai mal lu je croyais qu'il fallait montrer que convergait à partir de converge vers 0.
Bref, j'ai tout confondu, je me penche dessus serieusement.

[Nightmare]

Hello,

je pense avoir trouvé assez simple, cela se rapproche de l'idée de Matt :

Par hypothèse il existe M tel que .

Pour tout m, puis d'où et comme c'est une série positive, elle est convergente !

[dibeteriou]

J'ai l'impression que j'ai également loupé la solution ce matin :mur:
A suivre...

[Matt_01]

Sympa ta démo nightmare ;)

Et d'ailleurs (comme quoi c'est mieux quand on réflechit (je parle pour moi)), on a nécessairement L=0 (Cesaro)