[Suites] Démo règle de calcul des limites

par **Squall92** » 31 Oct 2010, 14:33

Bonjour à toutes et à tous,

J'ai un test mercredi sur les suites mais la démonstration d'un théorème me bloque un peu ^^

C'est le théorème sur la règle de calcul des limites ( de suites) :

Soient (Xn) et (Yn) deux suites convergentes. Ecrivons lim Xn = l et lim Yn = m

=> (Xn-Yn) converge et sa limite vaut l-m

J'ai essayé plusieurs fois en me basant sur la démonstration pour Xn+Yn ( http://s2.noelshack.com/upload/16347881988306_demo.jpg ) mais j'arrive pas à quelque chose de concret.

Je voudrais juste savoir comment procéder, je suppose que la subtilité est dans les 2 ères lignes de la démo

Merci d'avance et bon dimanche

par **Squall92** » 31 Oct 2010, 14:50

Ah je crois avoir la réponse finalement j'ai posté un peu trop vite (mais vous pouvez toujours me confirmer si c'est juste ^^)

On reprend la base de l'autre démo puis :

|(Xn-Yn)-(l-m)| = |(Xn-l)+(m-Yn)|
< E/2 + E/2 = E CQFD

par **Squall92** » 31 Oct 2010, 18:16

Ma question précédente étant résolue, j'en profite pour poser ici 2-3 nouvelles petites questions sur les suites, c'est tout bête mais c'est un peu confus dans ma tête :

alors je vois qu'une suite est dite croissante "si Xn Xn pour chaque point elle sera infinie ou n'aura pas de majorant ?! Ou alors c'est qu'il existe des suites croissants qui s'arrêtent pour une certaine valeur de n ? (ma question pour décroissante et minorée va de paire avec la question et la réponse) Un exemple m'aiderait peut-être à comprendre :)

Je voudrais aussi savoir si une suite monotone doit être uniquement croissante ou décroissant ou si elle peut "alternée" croissant-décroissant pour chaque valeur de n (ou n est un naturel) ?
exemple : (Xn)= (-1)^n * 2n , qui va donner : 0, -2, 4, -6, 8 ...

Merci

par **Hir** » 31 Oct 2010, 18:30

Tu crois que toutes les fonctions croissantes tendent vers l'infini ?
Un contre exemple parmi une infinité : f(x)= - exp(-x)

par **girdav** » 31 Oct 2010, 18:30

Bonjour,
une suite constante est croissante (et bien sûr majorée). Si tu cherche un exemple de suite strictement croissante, c'est-à-dire que

pour tout

alors on peut prendre la suite définie par

. On montre que cette suite est strictement croissante et majorée : elle converge.
Pour la deuxième question, je crois que la définition officielle de suite croissante (à vérifier dans ton cours) est :

est croissante s'il existe

tel que pour tout

on a

.

par **Squall92** » 31 Oct 2010, 19:41

Ah voilà c'est beaucoup plus clair dans ma tête ^^ Je savais que ce n'était pas vrai mais que je lisais la définition je ne trouvais pas de contre-exemple et donc ça me semblait bizarre ;)

Par la 2ème question tu ne voulais pas dire suite monotone plutôt ?

par **girdav** » 31 Oct 2010, 19:47

Squall92 a écrit:Ah voilà c'est beaucoup plus clair dans ma tête ^^ Je savais que ce n'était pas vrai mais que je lisais la définition je ne trouvais pas de contre-exemple et donc ça me semblait bizarre

Par la 2ème question tu ne voulais pas dire suite monotone plutôt ?

Non, je parlais bien de la définition d'une suite croissante.
Quelle est celle de ton cours?

par **Squall92** » 31 Oct 2010, 20:42

La définition d'une suite croissante est la même que celle déjà citée : "'une suite est dite croissante si Xn<Xn+1 pour tout n"

C'est pour ça que je ne considère une suite constante comme croissante (car l'inégalité est stricte) et donc que j'avais un peu de mal à visualiser une suite strictement croissante et qui est majorée

J'en profite pour poser une autre question toujours sur les suites : http://img684.imageshack.us/img684/7701/img041o.jpg

Pour la question 2, je suis bloqué et je ne vois pas trop comment faire ? (enfin j'ai une réponse mais c'est valable si la suite est monotone) si quelqu'un a une piste pour ? Et l'exercice 3 je ne suis pas sûr du tout que j'ai raison donc là aussi si une âme charitable pouvait confirmer ...

Merci

par **girdav** » 31 Oct 2010, 20:48

Pour le deux il suffit de montrer que la limite d'une suite pour laquelle tous les termes sont positifs est positive.
Pour la deux la négation de "

ne tend pas vers l'infini" n'est pas "

admet une limite". Tu peux essayer de travailler avec la définition du fait que la limite d'une suite est infinie avec les quantificateurs : dès que l'on te donne un réel positif on peut trouver un rang à partir duquel

est au dessus de ce réel. Que peux-tu dire de

?

par **Squall92** » 31 Oct 2010, 21:09

Pour la deux : comment savoir que tous les termes sont positifs ?

pour la trois : c'est vrai que le contraire de tend vers l'infini n'est pas admet une limite mais si une suite ne tend pas vers l'infini alors elle a quand même bien un majorant ?

par **Squall92** » 31 Oct 2010, 21:14

Pour le trois un ami vient de me dire qu'il avait :

Si Xn tend vers l'infini, il existe K>0 tel que Xn > K pour chaque n

Etant donné Xn < Xy on a : KK et donc Yn tend vers l'infini

Je suppose que tu pensais à ça girdav ? :we:

par **girdav** » 31 Oct 2010, 21:15

Pour la deux c'est la linéarité qui intervient : si on montre que tout suite convergente dont tous les termes sont positifs a une limite positive, on peut en déduire le cas général en posant

dans le cas particulier .
Pour la trois que penses-tu de

?

par **girdav** » 31 Oct 2010, 21:22

Squall92 a écrit:Pour le trois un ami vient de me dire qu'il avait :

Si Xn tend vers l'infini, il existe K>0 tel que Xn > K pour chaque n

Etant donné Xn K et donc Yn tend vers l'infini

Je suppose que tu pensais à ça girdav ? :we:

Pas tout à fait, avec ça on déduit seulement que la suite

est aussi minorée ce qui est beaucoup plus faible que de dire qu'elle tend vers l'infini. La définition de

est :

tel que

. On est "obligé" d'appliquer ça (du moins la preuve n'est pas dure avec ce critère).

par **Squall92** » 31 Oct 2010, 22:03

girdav a écrit:Pour la deux c'est la linéarité qui intervient : si on montre que tout suite convergente dont tous les termes sont positifs a une limite positive, on peut en déduire le cas général en posant dans le cas particulier .

A oui donc il faut utilisé la règle de calcul qui était en fait ma 1ère question ^^

Xn Il existe N qui appartient à |N tel que pour tout n>N

|(Xn-Yn)-(x-y)| 0)

Or si Xn-Yn est vrai pour n alors il est en particulier vrai pour n>N

On en déduit que x-y0, il existe N qui appartient à |N tel que pour tout n> ou = N , Xn>K"

Donc si on dit que qu'il existe un K >0 tel que pour tout N qui appartient à |N tel que pour tout n> ou = N , Xn >K , on montre qu'elle tend vers li'nfini et donc si K<Xn<Yn, Yn tend aussi vers l'infini ?!

par **girdav** » 31 Oct 2010, 23:09

Squall92 a écrit:Or si Xn-Yn est vrai pour n alors il est en particulier vrai pour n>N

On en déduit que x-y0, il existe N qui appartient à |N tel que pour tout n> ou = N , Xn>K"

Oui, c'est exactement la même chose. :lol3:
[quote="Squall92"]Donc si on dit que qu'il existe un K >0 tel que pour tout N qui appartient à |N tel que pour tout n> ou = N , Xn >K , on montre qu'elle tend vers li'nfini et donc si K0[/TEX]".

par **Squall92** » 01 Nov 2010, 11:22

Donc pour la deux, l'astuce réside à passer de Xn-Yn<0 à x
Pour la trois, mon idée est bonne mais c'est la formulation qu'il faut refaire si j'ai bien compris ?

Merci beaucoup pour ton aide en tout cas :we:

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