DM très compliqué (suites)

par **romain312** » 31 Oct 2010, 11:37

Bonjour,

J'ai un Dm a faire pour les vacances et je n'arrive pas a résoudre un exercice
J'ai besoin de votre aide

n désigne un entier naturel, a désigne un réel différent de 1 et de 0 et b désigne un réel non nul

Soit d'une part la suite (U_n) définie par U_0 =1 et U_{n+1}=aU_n +b

Soit d'autre part (C_n) définie par C_n=U_n +k où k désigne un réel quelconque

Exprimer k en fonction de a et de b afin que la suite (C_n) soit géométrique

Merci d'avance .

par **Rebelle_** » 31 Oct 2010, 11:59

Bonjour ! =)

Je te propose que nous traitions cet exercice ensemble. Il est pour le moins intéressant et je voudrais voir ce que tu penses (et ce que les autres pensent aussi ^^') de mon idée.

Puisqu'on a a différent de 1, on peut affirmer que la suite (U_n) n'est pas arithmétique. On a posé un k dans R tel que C_n = U_n + k. Je te propose d'exprimer C_{n+1} comme suit :

C_{n+1} = U_{n+1} + k = a*U_n + b + k = a*(C_n - k) + b + k = a*C_n + (b + k*(1-a)).

Là, tu peux fixer k (c'est-à-dire lui donner une valeur en fonction de a et b) de manière à ce que (C_n) soit géométrique et de raison a. On pourra de fait donner une expression simplifiée de (C_n) et ensuite de (U_n).

Me suis-tu ?

:)

par **romain312** » 31 Oct 2010, 12:28

Oui je te suis mais j'ai pas trop compris la dernière étape ..

par **Rebelle_** » 31 Oct 2010, 12:31

Pour passer de a*(C_n - k) + b + k à a*C_n + (b + k*(1-a)) on développe et on factorise :)
On a donc C_{n+1} = a*C_n + (b + k*(1-a)) ; pour que (C_n) soit géométrique de raison a il faut que (b + k*(1-a)) soit nul, donc que k soit égal à...

par **romain312** » 31 Oct 2010, 12:38

j'suis perdu la ^^
quand je fais le rapport C_{n+1) sur C_n je trouve a + b
donc j'ai faux ..
:/

par **Rebelle_** » 31 Oct 2010, 12:40

Ne fais surtout pas ça ! Oublie ce rapport. Tu ne peux l'appliquer que si la suite (C_n) ne s'annule jamais, ce qui n'est absolument pas certain.
Regarde ma méthode, il te reste simplement à exprimer k dans (b + k*(1-a)) = 0. ;)

par **romain312** » 31 Oct 2010, 12:42

ah d'accord .. ^^
Bon j'vais mieu regarder ta méthode alors ;)

par **Rebelle_** » 31 Oct 2010, 12:43

Je te laisse faire alors =)

par **naked11** » 31 Oct 2010, 12:45

si j'ai bien compris rebelle_
(b+k*(1-a))=0
b+(k-ka)=0
k-ka=-b
k=-b+ka

mais ca c'est pas possible donc je comprend pas .. :s

par **Rebelle_** » 31 Oct 2010, 12:47

Non, parce qu'on a : b + k*(1-a) = 0 <=> k*(1-a) = -b <=> k = -b/(1-a) soit k = b/(a-1).

NB : d'après l'énoncé on a bien a différent de 1. La suite (C_n) est donc géométrique de raison a si k = b/(a-1).

par **naked11** » 31 Oct 2010, 12:51

a oui non ce sont tes parentèses qui m'avait trompé mais en tout cas merci beaucoup :)

par **romain312** » 31 Oct 2010, 12:52

c'est bon la , l'exercice est résolu !

Merci beaucoup .
A bientot :)

par **Rebelle_** » 31 Oct 2010, 12:53

Je t'en prie ! Pas de soucis ;)

Si ça t'intéresse et que tu veux un peu t'amuser tu peux maintenant donner la forme générale de la suite (U_n) en fonction de a, b et U_0. =P

par **romain312** » 31 Oct 2010, 12:58

mdr' je galère deja assez mais merci quand même ! ^^

Mais attends, tu dis que pour que (C_n) soit géometrique de raison a , il faut que ( b + k (1 - a ) = 0
Puis on a exprimé grâce a ça k en foction de a et de b
et donc pourquoi (C_n) estgéometrique ?

désolé .. ^^

par **Rebelle_** » 31 Oct 2010, 13:04

Pas de soucis, on reprend

Une suite (v_n) est géométrique si on peut l'exprimer telle que v_{n+1} = q*v_n. Tu me suis ? C'est la définition du cours

Ici, q est la raison de la suite, c'est un réel.

Dans notre cas, on a montré qu'on avait C_{n+1} = a*C_n + (b + k*(1-a)). Pour que (C_n) soit géométrique il faut qu'elle respecte la définition, c'est-à-dire qu'il faut qu'elle soit de la forme C_{n+1} = a*C_n. Il faut pour ce faire qu'il n'y ait pas (b + k*(1-a)), donc il faut que (b + k*(1-a)) soit nul. Or, les nombres a et b sont imposés par l'énoncé ; le seul moyen que l'on ait pour que (b + k*(1-a)) soit nul c'est de jouer sur k. On cherche donc une valeur k qui remplisse la condition : cela revient à résoudre l'équation b + k*(1-a) = 0 d'inconnue k.

J'ai donc b + k*(1-a) = 0 k*(1-a) = -b k = -b/(1-a) soit k = b/(a-1).

Est-ce plus clair ?

par **romain312** » 31 Oct 2010, 13:07

ouais c'est bon j'ai compris :)
Merci Bien ..

Maintenant si j'ai des problemes pour les exos ou DM je sais vers qui me tourner :)
A bientot :)

par **Rebelle_** » 31 Oct 2010, 13:08

Bon c'est cool alors :)

Il n'y a pas de quoi, bonne fin de journée et à bientôt !

par **romain312** » 31 Oct 2010, 13:09

Bonne fin de journée a toi aussi ;)

DM très compliqué (suites)

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