DM d'algèbre multilinéaire

[Camcam91]

Bonjour, j'ai un dm a faire, j'ai déjà fait la partie 1 d'après la méthode usuelle...
je dois maintenant faire faire suivant la méthode matricielle, voici l'énoncé:

On note D' l'endomorphisme de C^3 tel que D'=phy o D o phy^-1
Ainsi le diagramme suivant commute :

E -> C^3
| . . . |
D . . . D'
| . . . |
E -> C^3

On note Bc = (e1,e2,e3) la base canonique de C^3, et on note u^i la suite phy^-1(ei) de E, pour i entre 1 et 3

De plus phy : u ->
(u(0))
(u(1))
(u(2))

et D est l'application de décalade de F(N,C) dans lui même qui à une suite u, associe la suite D(u) définie par D(u)(n) = u (n+1) pour tout n dans N

Et E est le sous ensemble du C espace vectoriel des suites F(N,C) dont les éléments u vérifient pour n>= 0 la relation de récurrence suivante:
(R) : u(n+3) = -u(n+2) -u(n+1) -u(n)

J'ai réussi la question a) qui est :
Calculer pour chaque i, les trois premiers termes de D(u^i). Donner la matrice M_D' = Mat_Bc(D') de D' dans la base canonique de C^3

Mais j'ai un problème pour la deuxième partie de la question b) celle avec les bases des espaces propres, pouvez vous m'aidez, s'il vous plait
Sachant que
b) Montrer qu'un vecteur v=
(z1)
(z2)
(z3)
vérifie M_D'(v) = Y.v pour Y dans C si et seulement si z2=Yz1, z3=Y²z1 et (Y^3+Y²+Y+1)z1 = 0
Déduire que D' à pour valeurs propre mu=i , mu²=-1 et mu^3=-i
Donner dans une base de chaque espace propre Ker(D'-mu^i.Id_C), et montrer que C^3 est la somme directe de ces espaces propres.

Merci