Spé maths, une question sur la divisibilité ! HELP

[mathilde.guelen]

Bonjour bonjour ! !
Je n'arrive pas a resoudre cette question pourriez vous m'aidez ???


Quel est le reste de la division euclidienne de par 7 ?


Merci beaucoup ! !!

[nodjim]

Petite maligne, pourquoi as tu changé le sujet ?
déja, en modulo m, tout ce qui dépasse m doit être arasé sous m
10=3 modulo 7.
Donc 3^(3^n)= ? modulo n
Fais le avec n=1 puis 2,...

[mathilde.guelen]

Mais c'est pas 3^(10^n) ?

j'ai vraiment du mal , désolée ...

[mathilde.guelen]

J'ai congrue a 4 mod 7 !
Puis ensuite je passe a congrue a mod 7 ?

[nodjim]

Il te suffit de faire les 7 cas possibles, après ça revient au point de départ.
10^1=3^1=3
10^(10^1)=3^(3^1)=3^3=-1.
donc 10^(10^(1+7k))=-1 modulo 7.
Continue.

[mathilde.guelen]

D'accord je vais le faire, mais ils demande LE reste possible:/
Il n'y en aura que un ?

[nodjim]

S'il y a plusieurs cas, il faut les citer.
Il y en a 7 au maximum: (0 à 6)+7k.

[Ben314]

Salut,
Si tu travaille "modulo 7", dans , tu peut remplacer le 10 "du bas" par un 3, ce qui fait effectivement qui est légèrement plus simple.
Ensuite, il faut que tu regarde comment fonctionnent les puissances de 3 modulo 7 :

On en déduit que que et donc que (toujours modulo 7)
Cette dernière égalité signifie que, pour calculer modulo 7, il faut regarder le reste de la division de m par 6 (et pas par 7).
Tu doit donc calculer le reste de la division de par 6 pour en déduire le reste de la division de par 7.

[nodjim]

Oui, c'est du 6k, je l'avais bien vu, mais j'attendais la réaction. Forcément elle serait tombée sur cette anomalie.

[mathilde.guelen]

C'est complique ....
:triste:

Mais tu ne va que jusque , pourquoi pas en fait ?

[Ben314]

C'est complique .... :triste:

pas temps que ça (et puis c'est pas triste...)

Mais tu ne va que jusque , pourquoi pas en fait ?

Pour au moins 2 raisons :

1) Dés que l'on trouve un entier tel que (modulo 7), c'est totalement inutile d'aller "plus loin" vu que cela implique que , , ... c'est à dire que les puissance suivantes sont les mêmes que les premières puissances calculées.
Par exemple, sans calculs suplémentaires, ben je sais que

2) Si je commence par écrire que (modulo 7), et que je veut en déduire des choses concernant , ben ça sent le début d'une récurrence (avec n=1) et ça semble assez malin, mais, rien que pour passer au rang n=2, il faut évaluer modulo 7 la quantité (modulo 7) et il faudrait refaire les calculs des modulo 7 pour aller plus loin.
Alors que, pour ce cas n=2, il est nettement plus rapide d'écrire (modulo 7)

Edit : En fait, l'idée de commencer par évaluer (modulo 7) puis (modulo 7) marche relativement bien aussi car on a (modulo 7) donc ...

[nodjim]

As tu calculé tous les résultats possibles de 3^n modulo 7 ? fais le et on en reparlera après.