Probabilité.

[didinebdx]

Bonjour, bonjour !
J'ai un léger soucis en proba et je me demandais si quelqu'un pourrais m'aider.

Voici l'énoncé :
Soit U une variable aléatoire de loi uniforme . Donner la densité et la fonction de répartition de U. Pour chacune des variables aléatoires suivantes, donner l'ensemble des valeurs qu'elle peut prendre puis calculer sa fonction de répartition et sa densité. Illustrez vos calculs d'un dessin explicatif.
1. X = cos (U)
2. Y = tan (U) (On pose tan( pour tout k.
3. Z = U² - pi²

Donc j'ai tenté la variable 1, pour ça j'ai séparé mon intervalle en 2 , mais je ne suis même pas sur de moi.
J'ai ensuite pris .
Mais au niveau des intégrales, je bloque. (En plus du fait de n'être pas sur du tout...)

J'aimerais donc votre avis et votre aide...

Merci d'avance .

[girdav]

Bonjour,
je suppose que dans la question préliminaire tu as répondu que la densité est l'indicatrice de l'intervalle .
Comme la variable aléatoire X ne prend ses valeurs que entre et , la fonction de répartition est constante égale à 0 pour les réels inférieurs à et égale à pour les réels supérieurs à . Maintenant, pour déterminer la valeur de la fonction de répartition de il faut faire un dessin, pourquoi pas du cercle trigonométrique.

[didinebdx]

Pour la densité, je l'ai calculé et j'ai trouvé

Après, pour les différentes variables aléatoires, on doit calculer les fonctions de répartition en partant de

etc.

Et c'est là que je bloque totalement. Car pour se débarrasser du cos(U), on doit passer par arccos et donc j'ai des soucis sur mon ensemble de définition. D'où le fait que j'ai essayé de décomposer en 2 intervalles.
Mais en faisant comme ça, je trouve une fonction de répartition = et donc une fonction de densité nulle.
Cela semble t'il correct ? Ou est ce impossible ?

[girdav]

Pour la densité, je l'ai calculé et j'ai trouvé

Oui, j'avais oublié le devant l'indicatrice de .

]Après, pour les différentes variables aléatoires, on doit calculer les fonctions de répartition en partant de

etc.

Et c'est là que je bloque totalement. Car pour se débarrasser du cos(U), on doit passer par arccos et donc j'ai des soucis sur mon ensemble de définition. D'où le fait que j'ai essayé de décomposer en 2 intervalles.
Mais en faisant comme ça, je trouve une fonction de répartition = et donc une fonction de densité nulle.
Cela semble t'il correct ? Ou est ce impossible ?

Le mieux est de faire un dessin du cercle trigonométrique. Si on se donne un , l'ensemble des tels que sera représentée par la partie du cercle trigonométrique qui se trouve à gauche de la droite verticale qui passe par .
Cette partie est symétrique par rapport à l'axe des abcisses, puis effectivement à l'aide de la fonction tu dois pouvoir exprimer la probabilité de tomber dans la partie supérieure par exemple.

[didinebdx]

Hum. Quitte à passer pour une cruche, autant le faire à fond :
Je ne suis pas sur d'avoir compris.
Et surtout, ça ne me parle pas tellement. Je ne vois pas comment faire.