[MP] Un résultat sur les suites
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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euler21
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par euler21 » 30 Oct 2010, 14:22
Bonjour
On se propose dans un exercice de démonter que si
est une suite à valeurs positives décroissante et telle que la série de terme général
converge, alors
. J'ai rédigé une solution et je ne sais pas si c'est correct.
Comme la série converge, elle est de Cauchy et de plus la suite
tend vers 0.
Soit
( Les valeurs absolues n'étant pas nécessaires puisque la suite
est positive.
Et puis
(c'est ce choix de
dont je ne suis pas sûr puisqu'il implique
)
Soit
soit
alors
D'où le résultat demandé. Est ce que c'est correct ??
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girdav
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par girdav » 30 Oct 2010, 14:34
Bonjour,
dans la dernière ligne juste avant le dernier signe
comment majores-tu la somme?
Sinon, je crois qu'il y a une preuve qui ne fait pas appel (explicitement) aux
: on a
quand
et on peut montrer aussi que la suite de terme général
converge vers
.
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Nightmare
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par Nightmare » 30 Oct 2010, 14:35
Salut,
dans ta dernière ligne, pourquoi
s'est transformé en
?
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euler21
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par euler21 » 30 Oct 2010, 14:39
Bonjour
Pour la majoration, on a
donc je peux appliquer la majoration sur le premier terme, à savoir
et puis pour le deuxième terme on utilise le fait que la série vérifie le critère de Cauchy, et j'ai remplacé le terme
par
parce que la suite est décroissante.
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Ben314
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par Ben314 » 30 Oct 2010, 14:55
Salut,
Ca m'a l'air tout à fait correct.
Perso, j'aurais dit que, si on pose
alors
est convergente donc
.
De plus,
(nombre de termes multiplié par un minorant des termes).
Pour tout
, si
est tel que
(donc
lorsque
) on a
ce qui prouve que
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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euler21
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par euler21 » 30 Oct 2010, 15:02
Salut Ben
Dans ta démonstration, ça ressemble un peu au critère de condensation de Cauchy. Je la trouve très subtile :++:
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