Arithmetique.

[Peutetre]

Bonjour;

J'ai un devoir facultatif de revision en arithmetique composé d'une 10ene de questions. J'ai reussi a raisoudre la plus part des petits probleme posé sauf 3 qui ont pourtant l'air assez simple... Je cherche donc un petit coup de main pour trouver et surtout comprendre les reponces :

I : Soit x et y deux entiers naturels non nuls. On note d = PGCD(x,y) et m = PPCM(x,y).
Déterminer tout les couples (x,y) tel que : m + d = y + 9

II : Les nombres 9491207, 487, n^4 + 7n^2 + 16 avec n appartenant a N/[0,1] sont ils premiers ? Justifiez.

III : Il y a 25 nombres 1er inferieurs a 100. Combien de tests faut il faire pour vérifier que 9127 est un nombre 1er ?

Voila en réaliter j'ai assez mal compris la partie sur les nombre 1er et les PPCM puisque les autre exos sur les equations diofentiens, ou les congruence ne m'ont posé aucun problemes.

Merci d'avance !

Lucas.

[Pavel]

Saulut.

J'ai trouvé des solutions pour II et III, mais pas pour I

Pour le III je pense il faut utiliser que si un nombre n'est pas premier il possède au moins un diviseur premier compris entre 1 et n^1/2
9127^1/2 = 95.3... et comme y a 24 nb premiers compris entre 0 et 96, il est nécessaire et suffisant de faire 24 essais (ils disent qu'ils y a 25 nb premiers entre 0 et 100 dont 97)

II

Comme 487 est 1er, n est 1er avec 487 <-> n =/= k*487 avec k de Z
9491207 = 11*29*29753, n est 1er avec 9491207 <->
n =/= k*11^a*29^b*29753^c avec a,b,c appartenant à N
PGCD(n^4+7n²+16,n) = PGCD(n,16) (algorithme d'euclyd)
donc n est 1er avec n^4+7n²+16 <-> n=/=k*2^a avec a - un naturel

Bon courage pour le I

Salut

[abel]

- Necessairement d divise 9 car d divise d,m et y. donc d=1 ou 3 ou 9.
de + on sait que m*d=x*y : on notera x'=x/d et y'=y/d et on aura x' et y' premiers entre eux
->on multiplie l'egalité par d d'où en recombinant :
xy-yd = 9d-d² <=> y(x-d) = d²(a-1) (ici a=1 ou 3 ou 9 car d divise 9)
or d divise y et d divise x et d donc d divise x-d donc on divise tout par d² : d'où :
y'(x'-1)=a-1
Voilà maintenant il te reste à etudier les différents cas pour a=1,3,9 (ca tu devrais y arriver assez facilement et tu trouvera x' et y' puis tu en deduiras assez facilement x et y par x=d*x'...) ensuite n'oubile pas de faire une réciproque car on a pas raisonné par equivalence.

remarque : on aurait pu directement divisé par d dés le début mais li est + simple de multpilier par d car on peut reconnaitre md=xy. (sinon il aurait fallu remarquer d'emblée que m/d=x'*y')

[Mikou]

III - il faudra en faire 24.

[Peutetre]

Merci beaucoup :happy2: :happy2: