Equation différentielle

[niko.37]

Bonjours à tous,
J'ai un DM de plusieurs exo dont un sur les équations différentielles et je bloque un peu, voici l'énoncé :

"Soit (E) : (1+x²)y'+2xy=1/x

1)Résoudre E sur R+*

2) Pour tout réel ;), on définit la fonction f (indice);) sur R+* par :

f(indice);)(x)= (lnx+;))/(1+x²)

a) Soit M(;),;)) un point du plan avec ;)>0. Montrer que par M passe une et une seule courbe C(indice);)

b) Montrer que pour tout réel ;), la fonction f(indice);) est de classe C² sur R+* "

Le reste de l'exo je pense m'en être sorti.

Pour la 1ere question j'ai rechercher les solutions de l'équation homogène, et je trouve ainsi des solutions de la forme : f:x---> ;)(1+x²) avec ;) un réel. Ensuite je fais la méthode de variation de la constante mais c'est la où je commence a bloquer car mes ;) ne s'annule pas afin qu'il ne me reste plus que des ;)' pour qu'ensuite j'intègre.

Pour 2 a) Je ne vois pas du tout comment le montrer, je pensais partir de l'idée que M appratient a f mais aprés je me perd...

Pour 2 b) , pour montrer qu'elle est continue, je dois montrer qu'elle est 2 fois dérivable ?!

Merci pour votre aide.
Bonne journée :we:

[Sa Majesté]

Pour la 1ere question j'ai rechercher les solutions de l'équation homogène, et je trouve ainsi des solutions de la forme : f:x---> (1+x²) avec un réel. Ensuite je fais la méthode de variation de la constante mais c'est la où je commence a bloquer car mes ne s'annule pas afin qu'il ne me reste plus que des ' pour qu'ensuite j'intègre.

Car c'est /(1+x²)

[arnaud32]

est tu sure de ta solution pour l'equation homogene?
fais un changement de variable en u=-ln(1+x²) par ex

[niko.37]

Merci, j'ai refais le calcul et j'avais oublié le - devant le ln. Donc la méthode de variation de la constante fonctionne et je trouve alors comme solution de (E):
f:x---> lnx+
Pour la 2)a mon idée de partir du fait que M appartient à f est-elle correcte même si je ne vois pas quoi faire ensuite.

[arnaud32]

si tu as un point (a,b) qui est sure deux courbes et
ca veut dire quoi?

[niko.37]

Sa veut dire que le point est l'intersection des 2 courbes, mais ici je n'ai qu'une courbe.. non ?!

[arnaud32]

tu veux montrer qu'il passe une et une seule courbe
tu dois donc montrer existance et unicite.
on commence par l'unicite...

[niko.37]

On peut faire un raisonnement par analyse synthèse, dans l'analyse on montrera l'unicité et dans la synthèse l'existence.

Dans l'analyse, on suppose que par M passe une et une seule courbe,

C'est ce qu'il faut faire ?!

[arnaud32]

si tu veux. :id:

[niko.37]

Donc dans l'analyse,:
on suppose que par M passe une et une seule courbe C;), dans ce cas M appartient à la fonction f;).

Pour tout (;),;)) appartenant à R+*, f(;))=;) =;)

Mais ensuite je ne vois pas ce que je peu faire ..
Merci

[arnaud32]

tu prends un point (a,b) si une courbe passe par ce point.
ces coordonnees verifient ok
mais que vaut alors?

[niko.37]

Donc on a ;)=b(1+a²)-ln(a)

[arnaud32]

donc pour tout point tu as bien une courbe avec ce parametre qui y passe.

unicite?

[niko.37]

Il y a unicité car pour tout point de coordonnée (a,b) passe bien une courbe C;)

Dans la synthèse, j'utilise ;)=b(1+a²)-ln(a), mais je vois pas comment sa peut me servir pour m'aider à montrer l'existence...

[arnaud32]

non c'est l'inverse.
la valeur de lambda que tu as trouve te permet d'affirmer l'existance l'unicite doit encore etre demontree.

[niko.37]

Je ne comprend pas tout car dans l'analyse on cherche à montrer l'unicité et dans la synthèse l'existence, c'est ça ?! Et on a montrer l'existence à travers l'analyse ... ;-s

[Ben314]

Salut,
Perso, je suis pas sûr que ce soit bien la peine de faire une "analyse synthèse" pour voir que, pour a>0 et b quelconque fixés, ben des lambda tels que ;)=b(1+a²)-ln(a), il me semble assez clair qu'il y en a un et un seul !!!!!

[niko.37]

C'est bon je viens de comprendre pourquoi il y en a qu'un seul donc la seule courbe c'est la courbe d'équation y=lambda ?: ...

[Ben314]

C'est bon je viens de comprendre pourquoi il y en a qu'un seul donc la seule courbe c'est la courbe d'équation y=lambda ?: ...

?????
Ah bon, c'est plus des courbes d'équation y=(lnx+;))/(1+x²) que l'on cherche finalement ?

[niko.37]

J'ai mélangé, on cherche bien des courbes d'équation y=(lnx+;))/(1+x²). Dans ce cas là on peu remplacer le lambda dans l'équation. Non ...