Divisibilité

[Remus]

Bonjour à tous, amis amoureux des Maths,
Je viens à vous pour un petit soucis que je rencontre dans un exercice de Maths Spé. Il concerne la divisibilité. J'ai, je crois, compris le chapitre, mais cet exercice me boque, je ne parviens pas à le résoudre tout comme d'autres exercices. Ici, mon principal problème est l'absence de valeurs. Voici l'énoncé :

" On se propose de déterminer les naturels x,y et z tels que :

x³-y³-z³ = 3xyz
x²=2(y+z)

a. Montrer que, si (x;y;z) est un triplet solution, alors x³ ;) y³

b. En déduire que x;)y, puis que x;)z

c. Montrer que x² ;) 4x

d. En déduire les trois valeurs que peut prendre x, puis déterminer les triplets (x;y;z) solutions."

Je bloque malheureusement dès le début cequi me bloque pour le reste de l'exercice. Donc, si vous le pouvez, ayez la gentillesse de m'aider. Je vous en remercie d'avance.

[Sa Majesté]

Salut
Tu as x³-y³= z³ + 3xyz

[Remus]

Oui je suis d'accord je l'avais trouvé ça mais rien ne nous dit que z³ + 3xyz est positif ? Car selon moi il faut trouver x³;)y³

[Remus]

Pardon pas positif mais égale à zéro ? et donc que x³-y³;)0

[Sa Majesté]

mais rien ne nous dit que z³ + 3xyz est positif ?

x, y et z sont des entiers naturels ...

[Remus]

Ah merci, c'est vrai que vu sous ce jour là ça a l'air tout bête ^^ je n'avais pas fait attention à ce mot, et dans ma tête, tout mon raisonnement était bloqué à cause du fait qu'on ne pouvait connaitre le signe des termes. Merci. Donc pour la deuxième question, il faut utiliser la racine cube, et pour le z, refaire le même procédé ?

[Sa Majesté]

Oui c'est ça

[Remus]

J'ai réussi la question c, maintenant j'en suis à la d et je me pose une question, l'exercice demande 3 valeurs pour le x or j'en trouve 5, est-ce normal ?

PS : Je trouve personnellement 0;)x;)4

[Sa Majesté]

Je me suis posé la même question
Je pense qu'il faut utiliser x²=2(y+z) pour en déduire que x est nécessairement un nombre .... (je te laisse compléter les ....)

[Remus]

Ah oui c'est exact, c'est un critère de divisibilité en quelque sorte qui permet d'affirmer que x² est paire. Par conséquent, les trois solutions possibles seraient 0, 2 et 4 car ces nombres au carré sont pairs, contrairement au 1 et au 3.

[Sa Majesté]

Oui c'est ça

[Remus]

Problème très étrange désormais, certainement dû à une erreur que je ne retoruve pas, mais quand je remplace x par 2 dans mon système, je parviens pas à isoler un y car tout s'annule ! Est-ce normal ?

[Remus]

Aidez moi s'il vous plait, car je rencontre également des problèmes avec x=4 et je désespère car j'ai presque fini l'exercice et je ne comprends pas où est mon erreur !

[Sa Majesté]

Déjà qu'est-ce que tu obtiens pour x=0 ?
Ensuite pour x=2, il faut écrire les 2 équations avec y et z. Et comme tu sais que y et z sont inférieurs à x, ça ne fait pas beaucoup de cas à regarder

[Remus]

Pour x = 0 je trouve que y et z sont également égaux à 0. C'est ça ?

Pour x=2 j'ai l'impression que c'est un peu du "pif", j'ai trouvé que pour x=2, y + z devait être égale à 2, or sachant qu'y et z sont tous deux inférieurs ou égaux à 2, on a 3 solutions :
y=1; z=1
ou y=0; z=2
ou y=2; z=0

Pour x=4, je ne trouve qu'une solution qui prouve que y+z=8, c'est y=4 et z=4.

Mais doit-on prouver tout ça ?

[Sa Majesté]

Pour x = 0 je trouve que y et z sont également égaux à 0. C'est ça ?

Oui

Pour x=2 j'ai l'impression que c'est un peu du "pif", j'ai trouvé que pour x=2, y + z devait être égale à 2, or sachant qu'y et z sont tous deux inférieurs ou égaux à 2, on a 3 solutions :
y=1; z=1
ou y=0; z=2
ou y=2; z=0

Oui mais il faut aussi vérifier la 1ère équation

Pour x=4, je ne trouve qu'une solution qui prouve que y+z=8, c'est y=4 et z=4.

Là aussi il faut aussi vérifier la 1ère équation

Mais doit-on prouver tout ça ?

Oui on doit :zen:

[Remus]

Et comment fait-on pour vérifier tout ça ? ^^ il faut juste remplacer par les valeurs ?

[Sa Majesté]

Oui c'est tout :zen:

[Remus]

Ah ok ^^ et bien un grand merci à Sa Majesté pour sa précieuse aide.