DM barycentres

[jeanne0210]

Bonjour,

Encore un exercice sur les barycentres pour lequel j'aimerais avoir des vérifications ! :lol3:

Enoncé :

On considère un tetraèdre OABC, le centre de gravité G du triangle ABC et les point R, S tels que : (ce sont des vecteurs) OR=OA+OB ; OS=OA+OB+OC.

1- a) Exprimer (vecteurs) OA+OB+OC en fonction de OG.
b) En déduire que les points O, S, G sont alignés.

2- a) Déduire de la question 1-a) une relation entree OR, OC, OG.
b) Montrer que G est aussi le centre de gravité du triangle OCR.

Mes réponses :

1- a) OG=OA+OB+OC (vecteurs)

b) Si OG=OA+OB+OC
et OS=OA+OB+OC
On a OS=OG, donc OS et OG sont colinéaires. Les points O, S, G sont donc alignés.

2- a) On sait que OR=OA+OB
et que OS=OG
On a donc OG=OA+OB+OC
OG=OR+OC

b) b) Je n'arrive pas à démontrer que G est le barycentre du triangle OCR. A partir de OG=OR+OC, j'aurais voulu appliquer la propriété AG= 1/(a+b+c)x(bAB + cAC), mais je bloque et n'arrive pas à l'appliquer dans ce cas


Je pense que ma première question mériterait plus de justifications aussi, mais encore une fois, je ne sais pas comment m'y prendre... :hein:

Merci à l'avance de votre aide ! :we:

[Jimm15]

Bonjour,

Encore un exercice sur les barycentres pour lequel j'aimerais avoir des vérifications ! :lol3:

Enoncé :

On considère un tetraèdre OABC, le centre de gravité G du triangle ABC et les point R, S tels que : (ce sont des vecteurs) OR=OA+OB ; OS=OA+OB+OC.

1- a) Exprimer (vecteurs) OA+OB+OC en fonction de OG.
b) En déduire que les points O, S, G sont alignés.

2- a) Déduire de la question 1-a) une relation entree OR, OC, OG.
b) Montrer que G est aussi le centre de gravité du triangle OCR.

Mes réponses :

1- a) OG=OA+OB+OC (vecteurs)
==> Qu’est-ce qui te permet d’écrire cette égalité ? C’est qui est égal à ça.
Pars de quelque chose que tu sais puis exprime en fonction des autres vecteurs.
Tu peux par exemple partir de (car est le centre de gravité de ).

b) Si OG=OA+OB+OC
et OS=OA+OB+OC
On a OS=OG, donc OS et OG sont colinéaires. Les points O, S, G sont donc alignés.
==> À revoir après correction de la première question.

2- a) On sait que OR=OA+OB
et que OS=OG
On a donc OG=OA+OB+OC
OG=OR+OC
==> À revoir après correction des deux premières questions.

b) b) Je n'arrive pas à démontrer que G est le barycentre du triangle OCR. A partir de OG=OR+OC, j'aurais voulu appliquer la propriété AG= 1/(a+b+c)x(bAB + cAC), mais je bloque et n'arrive pas à l'appliquer dans ce cas
==> C’est plus simple que ça. Il suffit d’utiliser la relation du 2-a) et de l’ « arranger » pour trouver. Tu verras après correction des questions précédentes.

Je pense que ma première question mériterait plus de justifications aussi, mais encore une fois, je ne sais pas comment m'y prendre... :hein:

Merci à l'avance de votre aide ! :we:

Bonjour,

Fais attention !

[jeanne0210]

J'ai corrigé mes réponses :

1- a) OA+OB+OC= OG+GA+OG+GB+OG+GC= 3OG+GA+GB+GC= 3OG (car GA+GB+GC=0)

b) Si 3OG=OA+OB+OC et OS=OA+OB+OC
On a OS=3OG, donc O,S,G alignés car OS et OG sont colinéaires.

2- a) On sait que OR=OA+OB et que OS=3OG
On a donc 3OG=OA+OB+OC <=> 3OG=OR+OC

b) OCSR est un parallélogramme (Je ne sais pas si j'ai le droit de l'affirmer ou s'il faut que je le démontre... :hein: ). Or si un quadrilatère est un parallélogramme, ses diagonales se coupent en leur milieu.
On appelle I centre du parallélogramme OCSR.
On a alors 2OI=3OG

Donc OG= 2/3 OI

On peut donc dire que G est le centre de gravité du triangle OCR puisque G est placé au 2/3 de [OI]

Je ne suis vraiment pas sûre de ce que j'ai marqué. J'ai l'impression d'affirmer beaucoup de chose que je ne suis pas "sensée savoir"... Je ne sais même pas si j'ai "arrangé" l'expression du 2-a) comme il fallait... Si la réponse à la question n'est pas ce que j'ai marqué je ne vois vraiment pas comment la résoudre... :help:

[Jimm15]

J'ai corrigé mes réponses :

1- a) OA+OB+OC= OG+GA+OG+GB+OG+GC= 3OG+GA+GB+GC= 3OG (car GA+GB+GC=0)
==> Tu as compris le principe mais ta démarche n’est pas correcte.
Il faut écrire, par exemple :
(j’ai sauté plusieurs étapes).

b) Si 3OG=OA+OB+OC et OS=OA+OB+OC
On a OS=3OG, donc O,S,G alignés car OS et OG sont colinéaires.
==> Il n’y a pas de « si » à mettre ici puisque c’est quelque chose qui est vrai ; on l’a montré à la question précédente.
On a .
Or ; donc .
Conclusion : , et sont alignés.

2- a) On sait que OR=OA+OB et que OS=3OG
On a donc 3OG=OA+OB+OC 3OG=OR+OC
==> Très bien.

b) OCSR est un parallélogramme (Je ne sais pas si j'ai le droit de l'affirmer ou s'il faut que je le démontre... :hein: ). Or si un quadrilatère est un parallélogramme, ses diagonales se coupent en leur milieu.
On appelle I centre du parallélogramme OCSR.
On a alors 2OI=3OG

Donc OG= 2/3 OI

On peut donc dire que G est le centre de gravité du triangle OCR puisque G est placé au 2/3 de [OI]

==> Tu te casses la tête pour rien du tout.
Pars de et, sans utiliser les relations qu’on a vues aux autres questions, essaie d’arriver à .

Je ne suis vraiment pas sûre de ce que j'ai marqué. J'ai l'impression d'affirmer beaucoup de chose que je ne suis pas "sensée savoir"... Je ne sais même pas si j'ai "arrangé" l'expression du 2-a) comme il fallait... Si la réponse à la question n'est pas ce que j'ai marqué je ne vois vraiment pas comment la résoudre... :help:

Tu n’es pas encore assez rigoureuse mais ça va venir.

[jeanne0210]

CA Y EST ! :we:

1- a) GA+GB+GC=0 GO+OA+GO+OB+GO+OC=0 3GO+OA+OB+OC=0 3OG=OA+OB+OC

2- b) 3OG=OR+OC OR+OC+3GO=0 OG+GR+OG+GC+3GO=0 GO+GR+GC=0

(Je crois que tu t'étais trompé, tu avais mis GO+GR+GS=0 mais je dois trouver G centre de gravité du triangle OCR, ou alors je n'ai encore rien compris... :dodo: )

Or, si GO+GR+GC=0 alors G est le barycentre de {(O;1)(R;1)(C;1)} et est donc le centre de gravité du triangle OCR.

Si là ça ne va pas... :briques:

[Jimm15]

CA Y EST ! :we:

1- a) GA+GB+GC=0 GO+OA+GO+OB+GO+OC=0 3GO+OA+OB+OC=0 3OG=OA+OB+OC
==> Pas de problème.

2- b) 3OG=OR+OC OR+OC+3GO=0 Oh ! OG+GR+OG+GC+3GO=0 GO+GR+GC=0
==> Tu ne fais pas attention aux signes.
Je te mets le détail des équivalences :
.

(Je crois que tu t'étais trompé, tu avais mis GO+GR+GS=0 mais je dois trouver G centre de gravité du triangle OCR, ou alors je n'ai encore rien compris... :dodo: )
==> Tu as raison. J’avais effectivement fait une erreur.

Or, si GO+GR+GC=0 alors G est le barycentre de {(O;1)(R;1)(C;1)} (ou G est l’isobarycentre de O, R et C) et est donc le centre de gravité du triangle OCR.
==> C’est OK.

Si là ça ne va pas... :briques:

Encore quelques erreurs d’étourderie...

[jeanne0210]

2- b) Quand j'arrive à 3OG+RG+GO+CG+GO=0 si je continue à détailler, est ce que j'ai bien :

3OG+RG+GO+CG+GO=0 <=> -3GO+RG+GO+CG+GO=0 <=> -GO+RG+CG=0 <=> OG+RG+CG=0 <=> GO+GR+GC=0 ?

Et donc, j'ai le droit de passer de OG+RG+CG=0 à GO+GR+GC=0 seulement si je change le sens de tous les vecteurs, c'est ça ? :hein:

Après ça, logiquement, c'est bon, j'ai compris ! :lol3:

[Jimm15]

2- b) Quand j'arrive à 3OG+RG+GO+CG+GO=0 si je continue à détailler, est ce que j'ai bien :

3OG+RG+GO+CG+GO=0 -3GO+RG+GO+CG+GO=0 -GO+RG+CG=0 OG+RG+CG=0 GO+GR+GC=0 ?

Et donc, j'ai le droit de passer de OG+RG+CG=0 à GO+GR+GC=0 seulement si je change le sens de tous les vecteurs, c'est ça ? :hein:

Après ça, logiquement, c'est bon, j'ai compris ! :lol3:

Oui, c’est bon.
Excuse-moi pour tout à l’heure, je n’avais pas vu que tu avais bien fait le changement de signe en changeant par . Donc tu avais bien juste.

[jeanne0210]

D'accord, merci beaucoup pour ton aide !! :++: