Algèbre

[Cam12]

Bonjour,

Soit T une matrice symétrique, A et B des matrices d'ordre (m,n) et (k,n). u un vecteur de R^m et v un vecteur de R^k. Je note u* le vecteur transposé.
A le fin d'un raisonnement, j'aboutis à l'équivalence suivante : u*ATB*v + v*BTA*u =0 <=> u*ATB*v = 0.
Le sens <= me parait completement évident, mais j'ai un peu plus de mal avec l'autre. Cela revient en fait à montrer que M+M*=0 => M=0 où M=u*ATB*v....

[windows7]

salut

deja premiere constatation sur diag de M ?

et par exemple

M :

0 -1
1 0

..?


donc 2 ieme constatation qu'elle hypothese sur "M" donne le resultat ?

[Cam12]

Eh bien pour la diagonale de M je ne vois pas trop quels sont les éléments....A part qu'il faut qu'ils ne soient pas tous nuls pour que ça marche....

[Cam12]

en y reflechissant, je crois avoir dit n'importe quoi, u*ATB*v appartient à R.....donc si je montre que u*ATB*v et v*BTA*u sont tous les deux strictement positifs, alors forcément u*ATB*v=0 et v*BTA*u=0. Mais comme v*BTA*u = (u*ATB*v)*, cela équivaut à u*ATB*v=0. Est-ce correct?

[arnaud32]

si tu notes x= u*ATB*v
tuas ecris x+x* = 0
or x est dans K donc x*=x
et 2x=0 donc x= si car(K) n'est pas 2.

[Cam12]

Ok merci Arnaud.
Ca marche bien puisque je travaille dans R.
Je me demande quand même si on peut trouver des conditions necessaires et suffisantes sur M pour avoir M+M*=0 <=> M=0, dans le cas où M est une matrice a coeff réels....

[arnaud32]

M+M*=0
ca veut dire pour tout i,j
quand i=j donc
ailleurs.

donc toute matrice antisymetrique va verifier M+M*=0