Ax+by+cz+d=0 en repère NON orthonormé

[tist]

Bonjour, je me pose une question sur les équations cartésiennes dans l'espace en repère non orthonormé.

Je donne une version courte et une version longue de ma question, pour ceux qui auraient compris tout de suite et ne voudraient pas avoir trop à lire:

Version courte: Que représente le vecteur (a,b,c) pour le plan d'équation ax+by+cz+d=0 en repère non orthonormé? en particulier, permet-il de caractériser le parallélisme avec le plan d'équation a'x+b'y+c'z+d'=0?

Version longue:
Un plan admet une équation cartésienne ax+by+cz+d =0. Cela s'obtient:

1)soit en repère orthonormé par un point A et vecteur normal n :
M appartient à P si et seulement si (produit scalaire) AM.n = 0 etc...cela donne une équation.

2)soit en repère quelconque avec deux vecteurs directeurs u et v et un point A :
M appartient a P si et seulement si Det(AM,u,v) = 0 etc... cela donne l'équation (rappel: la formule du déterminant avec les coordonnées n'est valable qu'en repère orthonormé direct, mais la nullité du déterminant est équivalente à la nullité de la formule en repère quelconque)

Passons maintenant aux droites: Le système d'équations cartésiennes
ax+ by + cz + d = 0 (P)
a'x + b'y + c'z +d' =0 (P')

est la représentation cartésienne d'une droite: l'intersection des plans P et P', ceci à condition que cette intersection existe, cad que les plans ne soient pas parallèles.

Alors:
1) Si le repère est orthonormé: pas de problème: la question du parallélisme se règle facilement car elle revient à la question de la colinéarité de n (a,b,c) et n'(a',b',c')

Mais MA QUESTION EST (enfin!):

Que peut-on dire en repère non orthonormé? On ne peut plus parler de vecteur normal. Est ce que pour autant le parallelisme de P et P' est équivalent a la colinéarité de n(a,b,c) et n'(a',b',c')?

Je dirais qu'on pourrait essayer (a part chercher des contre-exemples, mais bon dans l'espace c'est fastidieux) de prendre des vecteurs directeurs de P et P' (par ex pour P: (c,0,-a) et (0,c,-b)) et faire des déterminants, mais bon... bof

Quelqu'un a-t-il une réponse simple?


Merci et bonnes vacances!

[Doraki]

Un système d'équations
ax+by+cz+d = 0
a'x+b'y+c'z+d' = 0
a ou n'a pas de solutions. Il n'est nulle part question de repère quand on discute de la solubilité du système.

S'il a des solutions alors quel que soit le repère que tu mets, les plans correspondants dans ce repère vont avoir une intersection.
S'il n'a pas de solutions alors quel que soit le repère que tu mets, les plans correspondants dans ce repère vont être parallèles.

[tist]

Un système d'équations
ax+by+cz+d = 0
a'x+b'y+c'z+d' = 0
a ou n'a pas de solutions. Il n'est nulle part question de repère quand on discute de la solubilité du système.

S'il a des solutions alors quel que soit le repère que tu mets, les plans correspondants dans ce repère vont avoir une intersection.
S'il n'a pas de solutions alors quel que soit le repère que tu mets, les plans correspondants dans ce repère vont être parallèles.

ok, ainsi, même si ici c'est l'interprétation géométrique et non algébrique qui m'intéresse, comme, quel que soit le repère, les plans sont parallèles si et seulement si il n'y a pas de solution , alors: quel que soit le repère, le parallelisme se caractérise par la colinéarité des vecteurs (a,b,c) et (a',b',c').
C'est ça que tu veux me dire?

Merci en tout cas, c'est un raisonnement élégant.