Algèbre linéaire

[lisonn]

Bonjour,

J'ai un petit problème concernant les bases de l'algebre linéaire.
Si j'ai B une matrice symétrique d'ordre n, alors je peux trouver une matrice orthogonale P telle que B=P*DP où D est une matrice diagonale. (déjà pour cette propriété, si qqn a un lien vers une démo, je suis preneuse, j'ai cherché mais sans succès).
Ensuite je voudrais savoir à quoi ressemble cette matrice D (les coefficients sur la diagonale sont ils tous distincts, se peut-il qu'il y ai des 0?

[arnaud32]

tu peux surement travailler par recurrence.

les valuers sur la diagonale sont des valeurs propres et si ta matrice n'est pas inversible, il peut y a voir des zero.

[lisonn]

Ok merci.
J'ai l'impression que je m'emmele les pinceaux entre matrice inversible et diagonalisable.
Il se peut donc qu'une matrice soit diagonalisable sans pour autant être inversible....

[arnaud32]

oui la matrice identiquement nulle, n'est pas inversible par contre elle est diagonale.

[Ben314]

... alors que la matrice
1 1
0 1
et inversible mais n'est pas diagonalisable.

[Ben314]

Concernant la preuve, j'ai rien trouvé sur internet de "pas trop technique" (mais j'ai pas cherché super longtemps)

1) Montrer que, si une matrice A est symétrique alors toutes ces valeurs propres sont réelles (considérer une valeur propre à priori complexe ainsi que le vecteur propre X de C^n associé et écrire où est la transposée du conjugué de X)

2) Montrer qu'une matrice (réelle) nxn est symétrique ssi elle correspond à la matrice dans une base orthonormée d'un endomorphisme u:R^n->R^n "autoadjoint", c'est à dire tel que, pour tout x,y de R^n, on ait = (ou désigne le produit scalaire sur R^n)

3) Montrer que, si x est un vecteur propre d'un endomorphisme u autoadjoint et si H désigne l'orthogonal de vect{x} alors u(H) est contenu dans H et la restriction de u à H est encore un endomorphisme auto-adjoint de H dans H (où H est bien sûr muni du produit scalaire issu de R^n)

4) Conclure par récurrence.

[lisonn]

Merci beaucoup à tous les 2, je vais me pencher sur la preuve.
Par contre, juste pour me remettre les idées au clair, dans ton exemple Ben, la matrice est inversible mais non diagonalisable. Pour montrer ce dernier point, on calcule le polynome caracteristique qui est : X(X-2) donc la matrice qui a une valeur propre 2 de multiplicité 1..... et à partir de là je ne me souviens plus comment conclure (le rang de la matrice est 2 > 1 donc on ne peut pas diagonaliser ??)

[arnaud32]

premiere constatataion si tu regardes l'endomorphisme que represente ta matrice dans la base canonique, le critere de symetrei s'ecrit
si tu fais un changement de base tu te rend contre que cela reste vrai dans la nouvelle base (il suffit d'ecrire la nouvelle base dans la premiere)


tu peux trvailler par recurrence:
n=1 c'est evident
si tu supposes que c'est vrai en n-1
si la premiere colonne est nulle tu fais un changement de base sur le sous espace Vect (e2 ...en) avec ton hyp de recurence et c'est gagne.
sinon, tu peux echanger les vecteurs de la base de sorte que a(1,1) soit non nul.
dans cette nouvelle base ta matrice est toujours symetrique.
ensuite tu changes de base en modifiant uniquement le premier vectuer de ta base
par
dans cette nouvelle base ton endomorphisme est toujours symetrique.
et tu as
tu appliques alors l'hypothese de recurence a vect( e2 ... en).

[arnaud32]

sinon, tu peux echanger les vecteurs de la base de sorte que a(1,1) soit non nul.

pardon mais il y a une petite erreure dans la demonstration que je t'ai donne.

tu dois plutot verifier comme Ben te l'as indique que l'endomorphisme a ses valeurs propres reels.
et donc en te palcant dans C qu'il existe u vecteur propre e.
et tu prends comme base e U (base de l'orthogonal de e)
et tu peux alors continuer comme indique.

[Ben314]

Par contre, juste pour me remettre les idées au clair, dans ton exemple Ben, la matrice est inversible mais non diagonalisable. Pour montrer ce dernier point, on calcule le polynome caracteristique qui est : X(X-2)...

non, le polynôme caractéristique est (X-1)^2 ce qui signifie que la seule valeur propre est 1 et donc, que si la matrice était diagonalisable, ce serait l'identité.