Inégalité TAF/extrema

[Jo757]

Hello, j'ai encore 2 question sur lesquels je bloques.
A chaque fois il faut dire si c'est vrai ou faux, si c'est vrai le démontrer, si c'est faux donner un contre exemple suffit.

1er :

Soit f une fonction définie sur R telle que pour tout réel x et y :

|f(x)-f(y)| < sin²(x-y)

Alors f est une fonction constante. (l'inégalité est large)

2eme:

Il existe un réel M strictement positif, tel que pour tout réel x et y vérifiant -1|x^3-y^3|
(inégalité stricte)

Si vous avez une piste , je vous en serait infiniment reconnaissant.

[Ben314]

Salut,

1) Perso, quand on me donne du f(x)-f(y), j'ai trés souvent tendance à le diviser par ... pour faire apparaitre un ... puis je fait tendre ... vers ... pour avoir une ...

2) ... Idem...

Indic : 1) VRAI 2) FAUX

[Jo757]

Donc, si j'ai suivi, tu me suggère de diviser par (x-y) , pour faire apparaitre un taux d'accroisement, puis de faire tendre x vers y , et on obtient donc que la limite de |f(x)-f(y)|/|x-y| = f'(y) < sin²(x-y)/|x-y| .

Sauf que je vois pas ce que ca m'apporte la :(

[Jo757]

Ah en fait j'ai une idée :
Quand je divise par |x-y| , ca veut en fait dire que
(inegalité large toujours)
sin²(x-y)/|x-y| <|f(x)-f(y)|/|x-y| = f'(y) < sin²(x-y)/|x-y| donc on a
lim (x->y) de |f(x)-f(y)|/|x-y| = f'(y) = sin²(x-y)/|x-y| et
lim (x->y) sin²(x-y)/|x-y| = 0 , donc f'(y)= 0 donc la fonctione est constante ?

[Ben314]

Bon, déjà, lorsque tu divise par x-y, ça serait pas con de préciser que tu sippose x-y non nul et, vu que c'est dans une inégalité que tu divise par x-y, ben ça serait encore moins con de regarder de quel signe est (x-y) pour savoir si on change de signe ou pas...
Ensuite, quand dans ta nouvelle inégalité tu fait tendre x vers y dans le terme de gauche de l'négalité, ben ça serait tout de même plus malin de faire la même chose dans le terme de droite (sinon, c'est du... grand n'importe quoi...)
Faire attention aussi à ce que, lorsque l'on passe à la limite, seule les inégalités LARGES persistent (i.e. si F(x)>G(x) pour tout x>y alors lim(x->y+,F(x))>=lim(x->y+,G(x)) où l'inégalité est "devenue" large).

[Jo757]

Uep je m'exprime mal et c'est pas trop rigoureux ce que j'ai dit , j'la refait en "bien".
Donc je divise par |x-y| , et x-y=!0

Si x-y > 0
On a |f(x)-f(y)|/(x-y)=< sin²(x-y)/(x-y)

et si x-y<0
On a |f(x)-f(y)|/(x-y)>= sin²(x-y)/(x-y)

Donc |f(x)-f(y)|/|x-y| = sin²(x-y)/|x-y|

D'autres part on sais que lim (x->y) f(x)-f(y)/(x-y)= f'(y) et lim (x->y)sin²(x-y)/(x-y)=0 , donc f'(y)=0 , donc f est constante.
Ca marche comme ca ?

[Ben314]

Si x-y > 0
On a |f(x)-f(y)|/(x-y)== sin²(x-y)/(x-y)

Donc |f(x)-f(y)|/|x-y| = sin²(x-y)/|x-y|

Là, il y a une ENOOOOOOORME faute de logique : tu fait comme si les deux inégalitées étaient simultanéement vraies, or, la première n'est vraie que lorsque x-y>0 et la seconde n'est vrai que lorsque x-y0, ben ça signifie que tu n'as [U]jamais les deux inégalités...

Bon, sinon, à part cette énorme annerie, le principe est bon, mais il faut rédiger différement.
Dans le 1er cas, tu peut faire tendre x vers y+ et, dans le second cas, tu peut faire tendre x vers y-... et cela te conduit à f'(y)=0 (et il n'y a plus de condition sur x vu... qu'il n'y a plus de x !!!)

[Jo757]

Ue effectivement, j'sais pas ce qui m'es passé par la tete.
Donc je dois faire la totalité du raisonnement pour les 2 cas, ca ok.
Par contre je ne comprends pas la necessite de faire tendre vers y+/y-
Edit : ah ouai , c'est pour s'assurer qu'on a bien x-y>0 et x-y<0

[Jo757]

Pour le 2eme exercice, j'utilise donc le meme principe, ca nous donne
lim(x->y)|x^3-y^3|/|x-y|=f'(y)=3y^2 et lim (x->y) M|x-y|=0 donc 3y^2<0 ce qui est impossible .

Merci bcp de ton aide !

[Ben314]

[quote="Jo757"]Edit : ah ouai , c'est pour s'assurer qu'on a bien x-y>0 et x-yy, ben lorsque tu fait tendre x vers y, c'est forcément "par valeurs supérieures"

[xyz1975]

J`ai pas tout lu mais je pense que pour la premiere tu peux diviser par |x-y| sans envisager les cas

x>y et y>x puisque sin²(x-y)=|sin²(x-y)|=|sin(x-y)||sin(x-y)|sans oublier que la valeur absolu est

continue.

[Ben314]

Effectivement, ça évite de traiter deux cas.