L'attracteur lui même est l'invariant de la dynamique qui lui donne naissance.
En fait vous parlez de force, et bien sûr, c'est la force qui génère le mouvement.
Cependant, il y a une petite erreur.
Un attracteur est une région qui se trouve dans ce que l'on appelle l'espace des phases de la dynamique qui lui donne naissance, et cette région est invariante par la dynamique.
Bon mais alors qu 'est-ce que l'espace des phases?
Et bien c'est un espace qui est déja de dimension le double de celle de l'espace dans laquelle on considère la dynamique. Par exemple la piece de l'exemple de mathador est de dimension 3. Donc l'espace des phases est de dimension 6.
Chaque point de l'espace des phases représente un point de l'espace 3 D muni d'un vecteur vitesse qui représente en ce point la direction de la tangente du mouvement de ce point.
Pour bien fixer les idées, imaginez des plombs qui sortent du canon d'un fusil.
On imagine qu'ils suivent une trajectoire rectiligne. La dynamique a donc lieu dans un espace a une dimension. L'espace des phases est donc un plan.
Un point M de coordonnées (x,y) représente alors un plomb qui est à la position x avec une vitesse y.
Bien sur tous les plomb ne sortent pas a la meme position et à la meme vitesse, et on peut pour schématiser les représenter comme faisant partie d'un rectangle dans l'espace des phases:
Un plomb dans ce restangle n'aura pas la meme vitesse suivant la coordonnée y qu'il a dans ce rectangle.
ceux qui sont plus haut vont plus vite.
Donc au cours de l'évolution de la dynamique, ce rectangle va se déplacer au cours du temps dans le sens du mouvement, et donc se déformer pour devenir un parallélogramme de plus en plus écrasé.
Ce n'est donc pas une région invariante de l'espace des phases. Donc pas un attracteur, car une des conditions pour etre un attracteur est d'etre invariant pour l'évolution.
Sans aller plus avant dans l'étude de l'attracteur d'une telle dynamique, prenons un système dynamique simple, mais qui possède un attracteur très simple:
le cas du pendule.
Donc une masse ponctuelle accrochée à un fil considéré, pour simplifier, de masse nulle et indéformable. Cet assemblage étant accroché par l'autre extremité à un axe fixe.
L'espace des phases est de dimension 2, car le mouvement est représenté par un angle qui détermine la position et un vecteur vitesse associé a ce point.
Si il n'y a pas de mouvement, le système est fixe, donc représenté par exemple par le point (0,0) dans l'espace des phases (un angle nul et une vitesse nulle).
Maintenant 2 cas:
1-On considère qu'il n'y a pas de frottements: donc conservation de l'énergie.
Dans ce cas, si on induit un mouvement sur le pendule, celui ci oscille de droite a gauche, donc sa postition oscille alternativement autour de la position d'équilibre de manière sinusoidale dans le genre, et la vitesse fait de meme, et si on regarde bien les positions et les vitesses, ces dernières s'annulent quand le mobile passe par les points extremaux de sa trajectoire, et la vitesse est maximale quand le mobile passe par son point d'équilibre (seulement alternativement, la vitesse est positive et négative).
Il en résulte que cette trajectoire est représentée dans l'espace des phases par une trajectoire elliptique autour du point d'équilibre.
De plus, plus le mouvement a de l'énergie, plus le mouvement est ample, et donc plus l'ellipse est grosse (on suppose pour le moment que l'on n'a pas suffisament d'énergie pour passer le point vertical, car sinon on fais un tour complet, et on complique la dynamique, mais tout marche encore très bien).
Donc finalement toutes les ellipses concentriques que l'on peut dessiner autour du point d'équilibre dans l'espace des phases représentent tous les mouvement de ce mobile selon le niveau d'énergie qu'il possède.
Chacune de ces ellipses sont fermées sur elles memes, invariantes par la dynamique, donc elles sont toutes des attracteurs, et chaque union de chacune d'entre elles sont également des attracteurs.
2-On considère qu'il n'y a des frottements: donc dissipation de l'énergie.
Dans ce cas, le mouvement dissipe son énergie a chaque instant, le mobile se rapproche de son état d'équilibre (le point (0,0) de tout a l'heure). La seule partie invariante pour la dynamique est cette fois le point d'aquilibre. Il attire toutes les trajectoires de l'espace des phases.
Alors dans la plupart des situations dynamiques, les attracteurs sont nettement plus compliqués, jusqu'à même devenir "étranges", pour lesquels on trouve des propriétés d'auto similitude qui leur confère cet aspect fractal caractéristique de ce comportement. Un attracteur peut etre gigantesque, et pourtant, il reste invariant par la dynamique, et attire tous les points de l'espace des phases (En fait un attracteur peut avoir plusieurs composantes connexes (plusieurs parties identifiables et séparables) et donc divise l'espace des phases en régions, chacune étant ce que l'on appelle le bassin d'attraction de la composante connexe considérée).
Voila on peut encore digresser longtemps sur le sujet vu quantité considérable de propriétés que l'on peut exhiber de ces curieux objet.
En particulier les propriétés topologiques sont d'une importance cruciale pour la description de la dynamique sous jascente.
Pour en revenir a la psychée, on pourra s'intéresser à un ouvrage très intéressant sur le sujet. C'est une sorte de compte rendu d'une conférence en homage aux travaux de René Thom qui s'appelle "Catastrophes et bifurcations", ou il y a une conf de lui meme en personne je crois aussi.
Il y a aussi bien des articles bien mathématiques, et d'autres bien psychologiques, comme par exemple la modélisation du comportement d'une personne anorexique ou meme le comprtement d'un chien (et tout sa en dimension 3 !).
Voila j'espère vous avoir élairé un peu sans vous avoir ennuyé.
A plus pour d'éventuelles précisions
