Polynôme à diviseurs premiers

[trioker]

Bonjour à tous,

Un ami m'a présenté le polynôme 5X^4-10X^3+20X^2-15X+11, qui semble possèder la propriété suivante:
"Pour tout X entier, les diviseurs (premiers) de P(X) terminent tous par 1."
Ainsi P(18)=31*151*101.
:doh:
Je ne sais comment expliquer ce "mystère": pourrez-vous m'aider ?
Merci d'avance

[Mikou]

salut,
tu peux commencer par demontrer que pour tout n ds IN 'f(n)=5n^4-10n^3+20n^2-15n' est divisible par 10, conclusion f(n) a pour chiffre des unités 0, donc f(n)+11 a pour chiffre des unités 1.
Apresent considere la decomposition en facteur premier de f(n)+11, n'est-il pas evident que tt ces facteur premier on pour chiffres des unités 1 ? pourquoi ?

[yos]

Apresent considere la decomposition en facteur premier de f(n)+11, n'est-il pas evident que tt ces facteur premier on pour chiffres des unités 1 ? pourquoi ?

Bonne question. Ca ne me semble pas évident à moi. 7X3 et 3^4 se terminent par un 1 mais pas leurs facteurs premiers. Peut-être que tu as des idées qui m'échappent.

[Mikou]

car ici tt les diviseurs premiers on au minimum deux chiffres, donc les cas
p=2;3;5;7 sont a exclure
je te laisse le demontrer chez yos :happy3: ( dailleurs les cas 2;5 sont extrement evidents :ptdr: )

[yos]

et 19² , 13^4, 73X97 ??
Si j'abuse tu me le dis.

[Mikou]

en effet jai fait un peu nimporte quoi ... le problème est plus difficile qu'il ny parait, as tu une idée yos ?

[yos]

Je n'aboutis pas. Il suffirait de prouver que tout diviseur D de P(n) (n entier) est congru à 1 modulo 5. Il sera alors congru à 1 modulo 10 (facile à voir). On écarte facilement les cas D congru à 0,2,-2 modulo 5. Il reste à écarter le cas D congru à -1 modulo 5 et c'est pas évident. Je rate peut-être un truc simple.

[yos]

D'ailleurs même les cas D congru à 2, -2 ne sont pas clairs : j'ai fait une erreur.

[memphisto]

Ah, j'arrive sur le forum après une longue absence, et je tombe sur ce problème qui est tout à fait dans mon domaine
Je n'ai malheureusement pas le temps d'y réfléchir avant demain.
A +

[yos]

Il est sur math.net avec le titre "Le saviez--vous?". La discussion montre bien l'ampleur du problème.

[memphisto]

Ok j'irai voir, je vois qu'il faur s'inscrire, je le ferai plus tard... en plus ya un chat mais quand j'y suis allé, j'étais tout seul dessus :/ C'est dommage, sa le fait bien pourtant le chat, cf mon post sur le chat dans le topic "absurde" juste à coté:
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=14516

[yos]

C'est là :
http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum/read.php?f=2&i=275578&t=275578