Bac pondichéry

[anais121]

bonjour, je bloque sur les quatre première question pourriez vous m'aider s'il vous plait?
ca peut vous paraitre facile mais on vient juste de finir cette partie en cour.


Les parties A et B sont indépendantes.
Un laboratoire de recherche étudie l'évolution d'une population animale qui semble en voie de disparition.



Partie A
En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l'effectif initial est égal à mille.
Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d'individus, est approché par une fonction du temps (exprimé en années à partir de l'origine 2000).
D'après le modèle d'évolution choisi, la fonction est dérivable, strictement positive sur [0; +[, et satisfait l'équation différentielle :

(E) y' = -1/20y(3 - ln y)
1. Démontrer l'équivalence suivante :
Une fonction f, dérivable, strictement positive sur [0;infini +[, vérifie, pour tout t de [0; +infini[,
f'(t)=-1/20f(t)[3-ln(f(t))] si et seulement si la fonction g = ln(f) vérifie, pour tout t de [0; +[, g'(t)=1/20g(t)-3/20 .

2. Donner la solution générale de l'équation différentielle :
(H) z'=-1/20z-3/20

3. En déduire qu'il existe un réel C tel que, pour tout t de [0; +[ :
f(t)=exp(3+Cexp(t/20))

(la notation exp désigne la fonction exponentielle naturelle ).
4. La condition initiale conduit donc à considérer la fonction définie par :
f(t)=exp(3-3exp(t/20))

a) Déterminer la limite de la fonction en +infini
b) Déterminer le sens de variation de sur [0, + infini[.
c) Résoudre dans [0, infini+[ l'inéquation .
Au bout de combien d'années, selon ce modèle, la taille de l'échantillon sera-t-elle inférieure à vingt individus ?

[fonfon]

salut, je te montre le début

1) on sait que f est derivable et >0 sur [0,+inf[.DOnc on peut definir une certaine fonction g derivable sur [0,+inf[ par g=ln(f) donc g'=f'/f

on a f solution de (E) sur [0,+inf[ ssi pour tout t ds [0,+inf[ on a f'(t)=-1/20f(t)[3-ln(f(t)] ssi pour tout t ds [0,+inf[ f'(t)/f(t)=-1/20[3-ln(f(t)] ssi pour tout t ds [0,+inf[ g'(t)=-1/20[3-g(t)]=1/20g(t)-3/20
donc ssi g solution de z'=1/20z-3/20

Bonne continuation